Predmet:Osnovne racunske operacije

---

Posmatrajmo skup {1, 2, 3,..., n, n+1, ...}. Ovaj skup brojeva nazivamo skup prirodnih brojeva i obiljezavamo ga sa N. Broj 0 (nula) nije prirodam broj. Skup N mozemo prosiriti sa nulom. Na taj nacin dobijamo skup N₀₌N U{0}
U skupu N₀ mozemo definisati operacije sabiranja i oduzimanja.

Sabrati dva broja a i b znaci naci broj a+b=c

Brojeve a i b nazivamo sabirci a broj c zbir ili suma.
Sabiranje u ovom skupu ima sljedece osobine:

Komutativnost
a+b=b+a
2+3=5
3+2=5
tj
2+3=3+2

Asocijativnost
a+(b+c)=(a+b)+c
2+(3+4)=2+7=9
(2+3)+4=5+4=9
2+(3+4)=(2+3)+4

Ima neutralan broj
Broj n je neutralan ako i samo ako vrijedi
a+n=n+a=a
za sabiranje neutralan element je n=0 jer je
a+0=0+a=a
2+0=2=0+2

Inverzan element za sabieanje je broj m takav da je a+m=m+a=a. U skupu N ne postoji takav broj.

Oduzeti broj b od broja a znaci naci broj c takav da je
a-b=c odnosno a=c+b
a je umanjenik, b umanjitelj a c razlika brojeva a i b.

u skupu N₀ oduzimanje je definisano samo u slucaju kada je a>b. Ne moze se oduzeti veci broj od manjeg.
5-2=3
nemoguce je 3-5

U skupu N₀ mozemo oduzeti svaki broj a od samog sebe,. Dibicemo broj 0 (nula)
a-a=0
2-2=0,

Ako nulu oduzmemo od nekog broja on se nece promjeniti.
a-0=0
2-0=2

Da bi oduzimanje za slucaj a<b imalo smisla skup N₀ moramo prosiriti. Prosirit cemo ga suprotnim elementima (brojevima) skupa N. Suprotni elementi pozitivnih brojeva su negativni brojevi- oni imaju predznak - . ovaj skup nazivamo skup cijelih brojeva. Oznacavamo ga sa Z.

Svaki cijeli broj ima svog predhodnika n-1 i sljedbenika n+1. Mozemo uporediti cijele brojeve po velicni
(n-1)<n<(n+1)

-4<-2<0<2<4

Cijeli brojevi simetricno smjesteni na brojnoj osi u odnosu na nulu su suprotni brojevi. To su brojevi a i –a

Modul ili apsolutna vrijednost nekog broja je udaljenost cijelog broja od ishodista (btoja 0). Uvijek je pozitivna vrijednost.
Cijeli brojevi koji su simetrično smješteni na pravcu u odnosu na 0 međusobno su suprotni. Oznacava se s |z|

|0|=0
|1|=1
|-1|=1
|-4|=4
|9|=9

U skupu Z za operaciju sabiranje pored komutativnosti i asocijativnosti vrijedi:
Postoji neutralan element

a+0=0+a=a
(-2)+0=0+(-3)=(-2)
2+0=0+2=2
Zbir dva suprotna broja je nula z+(-z)=(-z)+z=0

Zbir pozitivnog i negativnog broja jednak je razlici njihovih apsolutnih vrijednosti s predznakom sabirka koji ima vecu apsolutnu vrijednost.
3+(-3)=0

7+(-5)=+(|7|-|-5|)=+(7-5)=+2=2 -9+4=-(|-9|-|4|)=-(9-4)=-5
Zbir dva negativna cijela broja je negativni broj cija je apsolutna vrijednost jednaka zbiru njihovih apsolutnih vrijednosti.

(-2)+(-3)=-(|-2|+|-3|)=-(2+3)=-5

Za cijele brojeve a i b vrijedi a-b=a+(-b).
Na taj način oduzimanje cijelih brojeva svodimo na sabiranje
9-5=9+(-5)=+(|9|-|5|)=+(9-5)=4

Racionalni brojevi su svi negativni razlomci, nula i pozitivni razlomci. Skup racionalnih brojeva označava se s Q.

Svaki razlomak mozemo zapisati u obliku a/b, gdje je a cijeli broj, a b prirodni broj.

Za svaki racionalni broj r vrijedi: a/1=a i 0/a=0
Racionalne brojeve možemo pridruživati točkama pravca.
Racionalni brojevi a/b i -a/b su suprotni brojevi.

Modul racionalnog broja (apsolutna vrijednost) je racionalni broj koji za brojnik ima modul brojnika, a za nazivnik modul nazivnika zadanog racionalnog broja.
Razlomci razlicitih nazivnika sabiraju se tako da ih svedemo na zajednicki nazivnik. Na taj način dobijemo razlomke jednakih nazivnika kojemozemo sabrati.
a/b + c/d= (ad+bc)/bd
2/4+2/3=(2*3+2*4)/3*4 =(6+8)/12=14/12

Zakonitosti koje vaze u skupu Z vaze i u Q.

Razlomci razlicitih nazivnika oduzimaju se tako da ih svedemo na zajednicki nazivnik, a zatim ih oduzmemo

---