Prikazi cijelu temu
23.10.2013 20:47
23.10.2013 20:47
Predmet:Re: Algebra u geometriji
Algebarski nacin rjesavanja problema
Data su tri kruga k1, k2 i k3. Apolonijev problem se sastoji u tome sto treba konstruisati lenjirom i sestarom sve moguce krugove k koji dodiruju sva tri kruga k1, k2 i k3. Jedan od mogucih resenja dat je na slici 8. Koristeci se prethodnim znanjima, pokazacemo sve moguce krugove k, konstruisane lenjirom i sestarom. Ako je dat krug k1 sa centrom O1, poluprecnika r1 i k sa centrom O i poluprecnika r, postoje tri mogucnosti pod kojima se dva kruga dodiruju:
krugovi se dodiruju sa spoljne strane i imaju zajednicku tangentu, tada vazi:
OO1=r+r1
krugovi se dodiruju sa unutrasnje strane tj. krug k1 lezi unutar kruga k, tada vazi:
OO1=r-r1
krugovi se dodiruju sa unutrasnje strane tj. krug k lezi unutar kruga k1, tada vazi:
OO1=r1-r
Krace receno, krugovi k i k1 se dodiruju ako i samo ako:
OO1=r +r1
OO1=r -r1
Da bi ovo povezali sa algebrom, uzecemo centre da su
O(x,y) i O1(x1,y)
pa je
(x-x1)2+(y-y1)2=(r + r1)2
(x-x1)2+(y-y1)2=(r - r1)2
Sada se moze postaviti Apolonijev problem. Krug k dodiruje sva tri kruga k1, k2, k3 ako svaka od jednakosti:
(x-x1)2+(y-y1)2=(r + r1)2 ili
(x-x1)2+(y-y1)2=(r - r1)2
(x-x2)2+(y-y2)2=(r + r2)2 ili
(x-x2)2+(y-y2)2=(r - r2)2
x-x3)2+(y-y3)2=(r + r3)2 ili
(x-x3)2+(y-y3)2=(r - r3)2
Algebarski nacin rjesavanja problema
Data su tri kruga k1, k2 i k3. Apolonijev problem se sastoji u tome sto treba konstruisati lenjirom i sestarom sve moguce krugove k koji dodiruju sva tri kruga k1, k2 i k3. Jedan od mogucih resenja dat je na slici 8. Koristeci se prethodnim znanjima, pokazacemo sve moguce krugove k, konstruisane lenjirom i sestarom. Ako je dat krug k1 sa centrom O1, poluprecnika r1 i k sa centrom O i poluprecnika r, postoje tri mogucnosti pod kojima se dva kruga dodiruju:
krugovi se dodiruju sa spoljne strane i imaju zajednicku tangentu, tada vazi:
OO1=r+r1
krugovi se dodiruju sa unutrasnje strane tj. krug k1 lezi unutar kruga k, tada vazi:
OO1=r-r1
krugovi se dodiruju sa unutrasnje strane tj. krug k lezi unutar kruga k1, tada vazi:
OO1=r1-r
Krace receno, krugovi k i k1 se dodiruju ako i samo ako:
OO1=r +r1
OO1=r -r1
Da bi ovo povezali sa algebrom, uzecemo centre da su
O(x,y) i O1(x1,y)
pa je
(x-x1)2+(y-y1)2=(r + r1)2
(x-x1)2+(y-y1)2=(r - r1)2
Sada se moze postaviti Apolonijev problem. Krug k dodiruje sva tri kruga k1, k2, k3 ako svaka od jednakosti:
(x-x1)2+(y-y1)2=(r + r1)2 ili
(x-x1)2+(y-y1)2=(r - r1)2
(x-x2)2+(y-y2)2=(r + r2)2 ili
(x-x2)2+(y-y2)2=(r - r2)2
x-x3)2+(y-y3)2=(r + r3)2 ili
(x-x3)2+(y-y3)2=(r - r3)2
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj