Prikazi cijelu temu
25.11.2013 19:48
25.11.2013 19:48
Predmet:Re: Padovanov niz
Niz prirodnih brojeva (Pn){n iz N[sub]0}[/sub] definisan sa
Pn = Pn-2 + Pn-3
P0 = P1 = P2 = 1
naziva se Padovanov niz.
Prvih nekoliko clanova toga niza su: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, . . .
a svaki prirodan broj n≥ 5 vrijedi
Pn = Pn-1 + Pn-5
Iz relacije
Pn = Pn-2 + Pn-3
slijede jednakosti
Pn-1 = Pn-3 + Pn-4 za svaki n ≥ 4
Pn-2 = Pn-4 + Pn-5 za svaki n ≥ 5
Izrazimo li iz prve jednakosti vrijednost P_{n-4} i uvrstimo li je u drugu , dobit cemo
Pn-2 = Pn-1-Pn-3 + Pn-5
odnosno
Pn-2 + Pn-3 = Pn-1 + Pn-5 za svaki n ≥ 5
Lijeva strana ove jednakosti je prema
Pn = Pn-2 + Pn-3 jednaka Pn, pa slijedi tvrdnja
Pn = Pn-1 + Pn-5
Geometrijska interpretacija :
Duzina stranice jednakostranicnoga trougla konstruisanog u k-tom koraku jednaka je zbiru duzina stranica trougla konstruisanih u koracima k-1 i k - 5. Valjanost te propozicije za kiz ({5, 6, 7}) lako se moze provjeriti pomocu slike.
Clanovi Padovanova niza mogu se (teoretski) definisati i za negativne cjelobrojne vrijednosti varijable n.
Clanovi Padovanova niza mogu se (teoretski) definisati i za negativne cjelobrojne vrijednosti varijable n.
Pn+3 = Pn+1 + Pn (svako l n iz N0)
a odavde je
Pn = Pn+3 - Pn+1 ( svako n iz N0)
Uvrstimo li formalno n = -1, dobit cemo
P-1 = P2 - P0 = 1 - 1 = 0
Na potpuno analogan nacin racunamo P-2, P-3 itd. Tako dobijamo prosireni Padovanov niz:
. . . , 2,-1, 0, 1,-1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, . .
Niz prirodnih brojeva (Pn){n iz N[sub]0}[/sub] definisan sa
Pn = Pn-2 + Pn-3
P0 = P1 = P2 = 1
naziva se Padovanov niz.
Prvih nekoliko clanova toga niza su: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, . . .
a svaki prirodan broj n≥ 5 vrijedi
Pn = Pn-1 + Pn-5
Iz relacije
Pn = Pn-2 + Pn-3
slijede jednakosti
Pn-1 = Pn-3 + Pn-4 za svaki n ≥ 4
Pn-2 = Pn-4 + Pn-5 za svaki n ≥ 5
Izrazimo li iz prve jednakosti vrijednost P_{n-4} i uvrstimo li je u drugu , dobit cemo
Pn-2 = Pn-1-Pn-3 + Pn-5
odnosno
Pn-2 + Pn-3 = Pn-1 + Pn-5 za svaki n ≥ 5
Lijeva strana ove jednakosti je prema
Pn = Pn-2 + Pn-3 jednaka Pn, pa slijedi tvrdnja
Pn = Pn-1 + Pn-5
Geometrijska interpretacija :
Duzina stranice jednakostranicnoga trougla konstruisanog u k-tom koraku jednaka je zbiru duzina stranica trougla konstruisanih u koracima k-1 i k - 5. Valjanost te propozicije za kiz ({5, 6, 7}) lako se moze provjeriti pomocu slike.
Clanovi Padovanova niza mogu se (teoretski) definisati i za negativne cjelobrojne vrijednosti varijable n.
Clanovi Padovanova niza mogu se (teoretski) definisati i za negativne cjelobrojne vrijednosti varijable n.
Pn+3 = Pn+1 + Pn (svako l n iz N0)
a odavde je
Pn = Pn+3 - Pn+1 ( svako n iz N0)
Uvrstimo li formalno n = -1, dobit cemo
P-1 = P2 - P0 = 1 - 1 = 0
Na potpuno analogan nacin racunamo P-2, P-3 itd. Tako dobijamo prosireni Padovanov niz:
. . . , 2,-1, 0, 1,-1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, . .
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj