Prikazi cijelu temu
25.02.2014 09:19
25.02.2014 09:19
Predmet:Re: Zanimljive krive
Hipocikloidu opisuje tacka na kruznici koja se, bez trenja kotrlja sa unutrasnje strane druge kruznice.
Pretpostavimo da se po unutrasnjosti kruznice K0 poluprecnika a kotrlja bez trenja kruznica K poluprecnika b, b < a.
Neka je koordinatni pocetak u centru kruţnice K0. Kruznicu K cemo postaviti tako da dodiruje kruznicu K0 sa unutrasnje strane u tacki Q presjeka sa x osom. Posmatrajmo putanju koju opisuje tacka Q kada se kruznica K ravnomjerno kotrlja u smjeru suprotnom kretanju kazaljke na satu. Pretpostavimo da je Q poslije vremena t ta tacka presla u tacku M(x,y). Uslov da je kotrljanje bez trenja, znaci da je duzina aθ luka kruznice K jednaka duzini luka kruznice K0.
Ako se kruznica K ravnomjerno kotrlja onda je predjeni put proporcionalan vremenu t. Tj.
pri cemu je k brzina kotrljanja.
Dakle, ako uzmemo da se kruznica K kotrlja za a duznih jedinica u jedinici vremena dobijamo
pa se ugao θ moze tretirati kao vrijeme.
Odredimo sada koordinate tacke M u koordinatnom sistemu xy. Koordinate centra kruznice na kojoj se nalazi tacka M su:
[img]http://img3.wikia.nocookie.net/...b53ab1.png [/img]
Postavimo koordinatni sistem uv tako da mu koordinatni pocetak bude u centru te kruznice K, a koordinatne ose paralelne sa x odnosno sa y osom. U tom koordinatnom sistemu koordinate u i v tačke M su :
Iz
dobijamo
Neka je a:b cio broj, odnosno a:b=s, mozemo pricati o duzini luka i povrsini hipocikloide.
Duzina luka hipocikloide je duzina svodova , tj duzina krive koju opise posmatrana tacka dok ne stigne do pocetnog polozaja.
Povrsina hipocikloide je povrsina koja je ogranicena sa uzastopnim svodovima hipocikloide
Hipocikloidu opisuje tacka na kruznici koja se, bez trenja kotrlja sa unutrasnje strane druge kruznice.
Pretpostavimo da se po unutrasnjosti kruznice K0 poluprecnika a kotrlja bez trenja kruznica K poluprecnika b, b < a.
Neka je koordinatni pocetak u centru kruţnice K0. Kruznicu K cemo postaviti tako da dodiruje kruznicu K0 sa unutrasnje strane u tacki Q presjeka sa x osom. Posmatrajmo putanju koju opisuje tacka Q kada se kruznica K ravnomjerno kotrlja u smjeru suprotnom kretanju kazaljke na satu. Pretpostavimo da je Q poslije vremena t ta tacka presla u tacku M(x,y). Uslov da je kotrljanje bez trenja, znaci da je duzina aθ luka kruznice K jednaka duzini luka kruznice K0.
Ako se kruznica K ravnomjerno kotrlja onda je predjeni put proporcionalan vremenu t. Tj.
pri cemu je k brzina kotrljanja.
Dakle, ako uzmemo da se kruznica K kotrlja za a duznih jedinica u jedinici vremena dobijamo
pa se ugao θ moze tretirati kao vrijeme.
Odredimo sada koordinate tacke M u koordinatnom sistemu xy. Koordinate centra kruznice na kojoj se nalazi tacka M su:
[img]http://img3.wikia.nocookie.net/...b53ab1.png [/img]
Postavimo koordinatni sistem uv tako da mu koordinatni pocetak bude u centru te kruznice K, a koordinatne ose paralelne sa x odnosno sa y osom. U tom koordinatnom sistemu koordinate u i v tačke M su :
Iz
dobijamo
Neka je a:b cio broj, odnosno a:b=s, mozemo pricati o duzini luka i povrsini hipocikloide.
Duzina luka hipocikloide je duzina svodova , tj duzina krive koju opise posmatrana tacka dok ne stigne do pocetnog polozaja.
Povrsina hipocikloide je povrsina koja je ogranicena sa uzastopnim svodovima hipocikloide
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj