Predmet:Re: Elementarna algebra

---

Zanimljive Pitagorine trojke su i one čije su katete susjedni brojevi. Uošsteno bismo ih mogli zapisati (x, x + 1, z) Pitagorinih trojki oblika (x, x + 1, z) ima beskonačno mnogo.

Dokaz

Neka su x i z prirodni brojevi, te neka je (x, x + 1, z) Pitagorina trojka. Tada postoji Pitagorina trojka (3x+2z +1, 3x+2z +2, 4x+3z +2)

Pokažimo da je ova trojka Pitagorina.

(3x + 2z + 1)^2 + (3x + 2z + 2)^2 = 18x^2 + 24xz + 8z^2 + 18x + 12z + 5

x^2 + (x + 1)^2 = z^2 => 2x^2 + 2x + 1 = z^2 =>

(3x + 2z + 1)^2 + (3x + 2z + 2)^2 = 16x^2 + 24xz + 9z^2 + 16x + 12z + 4= (4x + 3z + 2)^2

(3x + 2z + 1, 3x + 2z + 2, 4x + 3z + 2) je Pitagorina trojka.

Iz svake Pitagorine trojke (x, x+1, z), kod koje su katete susjedni brojevi, možemo dobiti Pitagorinu trojku

f(x, x + 1, z) = (3x + 2z + 1, 3x + 2z + 2, 4x + 3z + 2)

s dužim stranicama, čije su katete također susjedni brojevi. Za trougao (3, 4, 5) na taj način dobijemo trougao sa stranicama dužine (20, 21, 29).

(3* 3 + 2 * 5 + 1 = 20, 21, 4 * 3 + 3 * 5 + 2 = 29).

---