Prikazi cijelu temu
15.03.2011 21:24
15.03.2011 21:24
Predmet:Re: Brojevi kroz istoriju
Neko moze misliti da kada se brojni sistem poceo koristiti, da tada nula kao oznaka praznog prostora nije bila potrebna. Ali to naravno nije slucaj. Na primjer Vavilonci su imali brojni sistem bez nule i koristili ga skoro hiljadu godina. Ne postoji zapis da su Vavilonci imali bilo kakav problem sa ovim brojnim sistemom. Nevjerovatno je da su originalni tekstovi prezivjeli cak od ere Vavilonaca do danas. Vavilonci su pisali na glinenim tablama koristeci klinasto pismo. Utiskivali su simbole u mekanu plocu. Mnogi zapisi su sacuvani iz 1700. god. pne. tako da sada mozemo citati originalne tekstove. Naravno njihova notacija brojeva je skroz razlicita od ove koje mi danas koristimo (osnova je bila 60) , ali prevodjenjem na nasu notaciju nije bilo razlike izmedju 2106 i 216 (konteks treba pokazati sta je bilo naznaceno). Negde oko 400 g. pne. Vavilonci su stavili dva simbola koji su oznacavali nulu, 216 ili 21"6. Ova dva simbola se nisu jedino koristila. U gradu Kish - drevnom gradu Mesopotamije - lociran na istoku Vavilonije koji danas predstavlja juzno-centralni dio Iraka, koristila se drugacija notacija. Na ovim plocama nula je zabiljezena kao simbol koji se sastoji od tri 'kuke' i predstavljala je prazno mjesto u brojnom sistemu. Postoji vazan razlog zasto su se koristile razlicite oznake da oznace prazno mjesto. Ovaj se simbol koristio uvijek izmedju dva broja, a ne na kraju broja. Tako cemo naci zapis 21"6 a ne 216".
navodnika tako da broj ima korektnu interpretaciju.
Doprinos razvoju matematike dali su i Grci u tom nekom vremenu. Oni nisu koristili pozicioni sistem vrijednosti. Vazno je vidjeti kakav je njihov uticaj po pitanju toga. Kako Grci nisu uvidejli vrijednost Vavilonskog brojnog sistema? Njihova dostignuca bila vezana za geometriju. Cak Euklidova knjiga elemenata sadrzi dio koji sadrzi teoriju o brojevima, a ona se bazira na geometriji. Drugim rijecim Grci nisu imali potrebu da imenuju brojeve sve dok su radili sa brojevima kao duzinama linija. Brojeve koje je trebalo imenovati zbog nekih ocjena, koristili su trgovci, a ne matematicari i tako otkrili notaciju koja im je bila potrebna.
Postoje neki. To su bili matematicari koji su koristili racune za obradu astronomskih podataka. Ovdje mozemo pronaci prvo koriscenje nule kao simbola kojeg mi danas koristimo. Grcki astronomi su poceli koristiti simbol 0.
Postoje mnoge teorije zasto se ova notacija pocela koristiti. Neki istoricari favorizuju objasnjenje da je omikron, prvo slovo Grcke rijeci "ouden" (znacenje ove rijeci je nista). Neugebauer, kao bilo, odbacio je ovo objasnjenje dok Grci nisu konacno poceli koristiti omicron kao broj - predstavili su broj 70 (Grcki brojni sistem se bazira na njihovom alfabetu). Druga objasnjenja su vezana za "obol", novcic koji skoro nema vrijednost. Ti novcici (zetoni) su se koristili za racunanje. Sugestija ovdje je da kada se zeton skloni sa lijeve kolone, ostavlja otisak u pijsku koji lici na O.
Ptolomej u svom djelu Almagest napisao je oko 130 g.pne je koristio Vavilonski seksadecimalni sistem zajedno sa O koja oznacava prazno mjesto. U ovom vremenu Ptolomej koristi simbol izmedju brojeva i na kraju broja. Ovo je, kako bilo, daleko od onoga sto se kasnije desilo. Samo nekoliko astronoma je koristilo ovaj sistem zajedno sa nulom. Vazno je reci da je ideja nekoliko puta bila osporavana dok konacno nije usvojena. Ideja o nula-mjestu rodila se tada i kod Indijskih matematicara.
Brojni sistem koji je nastao u Indiji koristi i danas, tj. veoma je slican danasnjem brojnom sistemu. Naravno ne mozemo reci da Indijski matematicari nisu preuzeli nesto od ranijih matematicara i ranijih kultura i mnogi vjeruju da su broj nula preuzeli od grckih astronoma. Mnogi istoricari favorizuju Indijce i njihov doprinos matematici dok neki rade sasvim suprotno potcenjujuci njihov uticaj. Za primjer Mukherje je pisao:-
...matematicki koncept broja nula...je duhovno predstavljen prije 17000 hiljada godana u Indiji.
Sto je sigurno a to je da se oko 650 g. pne. poceo koristiti broj nula u Indiji. Indiski matematicari su koristili mjesto-vrijednost sistem i nulu kao pokazatelja praznog mjesta u sistemu. oko 200. g. pne. u Indiji pocela koristiti nula za oznaku praznog mjesta. Ali su neki istoricari ispustili ovaj podatak.
Oko 500 g.pne. Aryabhata razvio je brojni sistem koji nije sadrzao nulu. On je koristio rijec "kha" za poziciju i ta ce rec dobiti ime nula. Postoji evidencija da je tacka koristena u Indiji za oznaku praznog mjesta. Interesnatno je da se u spisima iz tog vremena moze pronaci tacka koja oznacava nepoznatu x.
Kasnije u Indiji jos uvijek su se za nulu koristila imena i jos nije bilo simbola koji bi je determinisao. Prvi spisi o nacinu koriscenja broja nula i sa kojima su se svi slozili je napisano 876. godine.
Nailazimo na prevod spisa koji su napisani na tabli koja sadrzi datum koji mozemo prevesti u 876. Tabla je nadjena u gradu Gwalior, 400 km juzno od Delhija, gdje su zasadili bastu 187 x 270 na kojoj su zasadili cvijece dovoljno da se naprave 50 vijenaca dnevno koji su namjenjeni lokolnoj crkvi. Oba broja 270 i 50 su oznaceni onako kako danas izgledaju.
Ovdje nalazimo prvu upotrebu nule kakva se danas koristi, tj. nule kao broja. Naravno, moramo da primjetimo da ona nije prirodni kandidat za broj. Od ranije brojevi samo predstavljaju objekte ili skup objekata. Najverovatnije ideja o brojevima je postala vise abstraktnija tako da se moze polemisati kako o prirodnim tako i o negativnim brojevima i broju nula. Problem nastaje onda kada se nula i negativni brojevi pocnu posmatrati u odnosu na aritmeticke operacije kao sto su: sabiranje, oduzimanje, mnozenje, deljenje. U trima vaznim knjigama Indijski matematicari Brahmagupta, Mahavira i Bhaskara pokusali su da odgovore na ova pitanja.
Neko moze misliti da kada se brojni sistem poceo koristiti, da tada nula kao oznaka praznog prostora nije bila potrebna. Ali to naravno nije slucaj. Na primjer Vavilonci su imali brojni sistem bez nule i koristili ga skoro hiljadu godina. Ne postoji zapis da su Vavilonci imali bilo kakav problem sa ovim brojnim sistemom. Nevjerovatno je da su originalni tekstovi prezivjeli cak od ere Vavilonaca do danas. Vavilonci su pisali na glinenim tablama koristeci klinasto pismo. Utiskivali su simbole u mekanu plocu. Mnogi zapisi su sacuvani iz 1700. god. pne. tako da sada mozemo citati originalne tekstove. Naravno njihova notacija brojeva je skroz razlicita od ove koje mi danas koristimo (osnova je bila 60) , ali prevodjenjem na nasu notaciju nije bilo razlike izmedju 2106 i 216 (konteks treba pokazati sta je bilo naznaceno). Negde oko 400 g. pne. Vavilonci su stavili dva simbola koji su oznacavali nulu, 216 ili 21"6. Ova dva simbola se nisu jedino koristila. U gradu Kish - drevnom gradu Mesopotamije - lociran na istoku Vavilonije koji danas predstavlja juzno-centralni dio Iraka, koristila se drugacija notacija. Na ovim plocama nula je zabiljezena kao simbol koji se sastoji od tri 'kuke' i predstavljala je prazno mjesto u brojnom sistemu. Postoji vazan razlog zasto su se koristile razlicite oznake da oznace prazno mjesto. Ovaj se simbol koristio uvijek izmedju dva broja, a ne na kraju broja. Tako cemo naci zapis 21"6 a ne 216".
navodnika tako da broj ima korektnu interpretaciju.
Doprinos razvoju matematike dali su i Grci u tom nekom vremenu. Oni nisu koristili pozicioni sistem vrijednosti. Vazno je vidjeti kakav je njihov uticaj po pitanju toga. Kako Grci nisu uvidejli vrijednost Vavilonskog brojnog sistema? Njihova dostignuca bila vezana za geometriju. Cak Euklidova knjiga elemenata sadrzi dio koji sadrzi teoriju o brojevima, a ona se bazira na geometriji. Drugim rijecim Grci nisu imali potrebu da imenuju brojeve sve dok su radili sa brojevima kao duzinama linija. Brojeve koje je trebalo imenovati zbog nekih ocjena, koristili su trgovci, a ne matematicari i tako otkrili notaciju koja im je bila potrebna.
Postoje neki. To su bili matematicari koji su koristili racune za obradu astronomskih podataka. Ovdje mozemo pronaci prvo koriscenje nule kao simbola kojeg mi danas koristimo. Grcki astronomi su poceli koristiti simbol 0.
Postoje mnoge teorije zasto se ova notacija pocela koristiti. Neki istoricari favorizuju objasnjenje da je omikron, prvo slovo Grcke rijeci "ouden" (znacenje ove rijeci je nista). Neugebauer, kao bilo, odbacio je ovo objasnjenje dok Grci nisu konacno poceli koristiti omicron kao broj - predstavili su broj 70 (Grcki brojni sistem se bazira na njihovom alfabetu). Druga objasnjenja su vezana za "obol", novcic koji skoro nema vrijednost. Ti novcici (zetoni) su se koristili za racunanje. Sugestija ovdje je da kada se zeton skloni sa lijeve kolone, ostavlja otisak u pijsku koji lici na O.
Ptolomej u svom djelu Almagest napisao je oko 130 g.pne je koristio Vavilonski seksadecimalni sistem zajedno sa O koja oznacava prazno mjesto. U ovom vremenu Ptolomej koristi simbol izmedju brojeva i na kraju broja. Ovo je, kako bilo, daleko od onoga sto se kasnije desilo. Samo nekoliko astronoma je koristilo ovaj sistem zajedno sa nulom. Vazno je reci da je ideja nekoliko puta bila osporavana dok konacno nije usvojena. Ideja o nula-mjestu rodila se tada i kod Indijskih matematicara.
Brojni sistem koji je nastao u Indiji koristi i danas, tj. veoma je slican danasnjem brojnom sistemu. Naravno ne mozemo reci da Indijski matematicari nisu preuzeli nesto od ranijih matematicara i ranijih kultura i mnogi vjeruju da su broj nula preuzeli od grckih astronoma. Mnogi istoricari favorizuju Indijce i njihov doprinos matematici dok neki rade sasvim suprotno potcenjujuci njihov uticaj. Za primjer Mukherje je pisao:-
...matematicki koncept broja nula...je duhovno predstavljen prije 17000 hiljada godana u Indiji.
Sto je sigurno a to je da se oko 650 g. pne. poceo koristiti broj nula u Indiji. Indiski matematicari su koristili mjesto-vrijednost sistem i nulu kao pokazatelja praznog mjesta u sistemu. oko 200. g. pne. u Indiji pocela koristiti nula za oznaku praznog mjesta. Ali su neki istoricari ispustili ovaj podatak.
Oko 500 g.pne. Aryabhata razvio je brojni sistem koji nije sadrzao nulu. On je koristio rijec "kha" za poziciju i ta ce rec dobiti ime nula. Postoji evidencija da je tacka koristena u Indiji za oznaku praznog mjesta. Interesnatno je da se u spisima iz tog vremena moze pronaci tacka koja oznacava nepoznatu x.
Kasnije u Indiji jos uvijek su se za nulu koristila imena i jos nije bilo simbola koji bi je determinisao. Prvi spisi o nacinu koriscenja broja nula i sa kojima su se svi slozili je napisano 876. godine.
Nailazimo na prevod spisa koji su napisani na tabli koja sadrzi datum koji mozemo prevesti u 876. Tabla je nadjena u gradu Gwalior, 400 km juzno od Delhija, gdje su zasadili bastu 187 x 270 na kojoj su zasadili cvijece dovoljno da se naprave 50 vijenaca dnevno koji su namjenjeni lokolnoj crkvi. Oba broja 270 i 50 su oznaceni onako kako danas izgledaju.
Ovdje nalazimo prvu upotrebu nule kakva se danas koristi, tj. nule kao broja. Naravno, moramo da primjetimo da ona nije prirodni kandidat za broj. Od ranije brojevi samo predstavljaju objekte ili skup objekata. Najverovatnije ideja o brojevima je postala vise abstraktnija tako da se moze polemisati kako o prirodnim tako i o negativnim brojevima i broju nula. Problem nastaje onda kada se nula i negativni brojevi pocnu posmatrati u odnosu na aritmeticke operacije kao sto su: sabiranje, oduzimanje, mnozenje, deljenje. U trima vaznim knjigama Indijski matematicari Brahmagupta, Mahavira i Bhaskara pokusali su da odgovore na ova pitanja.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj