Prikazi cijelu temu 12.09.2010 17:59
roza Van mreze
Super Moderator
Registrovan od:06.01.2009
Lokacija:Tuzla


Predmet:Re: Elementi matematicke logike
AKSIOM

Aksiom (grc. aksios - bez) je temeljna istina koja se ne dokazuje i sluzi kao osnova neke matematicke teorije. Za razliku od dogme uglavnom se ne tvrdi njena nuzna istinitost jer je to logicki nemoguce utvrditi, nego se uzima kao pretpostavka na kojoj se gradi teorija. Zato je u matematici normalno uzeti druge ili cak suprotne aksiome za izgradnju neke druge teorije.

Aksiomatska izgradnja neke matematicke teorije sadrzi sljedece etape:

1. Navodjenje osnovnih pojmova, sto znaci uvodjenje pojmova koji se ne definisu (skup, prava, tacka, itd.)
2. Formulacija aksioma
3. Definisanje novih pojmova (definicije)
4. Izvodjenje i dokazivanje teorema, lema, korolara, itd.

Formulacija aksioma mora zadovoljavati sljedeca tri principa:

1. princip nezavisnosti - aksiomi medjusobno moraju biti nezavisni i jedan se pomoc drugoga ne smije moci dokazati
2. aksiomi ne smiju biti medjusobno kontradiktorni

3. princip potpunosti - svaka matematicka teorija mora imati dovoljan broj aksioma da se moze izgraditi cijela teorija

Cesto se insistira da aksiomatska izgradnje bude minimalna.

TEOREMA

Teorema ili poucak je iskaz u kojem se uocava da neki matematicki pojam ima jos neke karakteristike osim onih koji su dati u definiciji tog pojma (npr. da je 1>0) i ta se tvrdnja mora dokazati. Dok se tvrdnja ne dokaze zovemo je hipotezom.

Radi lakseg razumijevanja teoreme se dijele na cetiri grupe

Teorem u uzem smislu je nesto jako bitno sto se cesto koristi i izvan uskog podrucja u kojem je dokazan. Najbolji primjer je Pitagorin teorem.

Propozicija je manji teorem koji sluzi u izgradnji neke teorije. Koristi se uglavnom samo u radu u kojem je uvedena ili se radi o opcepoznatoj tvrdnji koja je pretrivijalna da bi se zvala teoremom. Dobar primjer je tvrdnja da svaki broj pomnozen s nulom daje nulu.

Lema je teorem koji, u principu, nema korisnost osim u dokazivanju jednog ili nekoliko vecih teorema. Obicno se radi samo o pomagalu za jasnije iznosenje dokaza, te je prilagodjena dokazu i tesko da bi se mogla igdje drugdje upotrijebiti. Ipak, postoje "leme", kao npr. Zornova lema, koje se tako zovu jer zvuce tehnicki i koriste se u drugim dokazima, ali su po opsegu primjene zapravo teoremi.
Dobar primjer leme je tvrdnja koja kaze da determinanta transponirane matrice nije veca od determinante originalne matrice. Kada se ova lema iskoristi na samu sebe i time dokaze teorem da je determinanta transponirane matrice jednaka determinanti originalne matrice, tvrdnja leme postaje bespotrebna, iako nam je bila nuzna u dokazu tog teorema (osim ako netko ne uspije dokazati teorem na neki drugi nacin).

Korolar je kratki teorem koji slijedi direktno iz nekog prethodnog teorema. cesto se radi o najvaznijem posebnom slucaju nekog teorema koji se koristi cesce od samog teorema.

Ovo je "labava" podjela, tj. nista od toga nije egzaktno matematicki nego se tako dijeli cisto radi lakseg razumijevanja.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj