Predmet:Re: Vietove formule

---

Izmedju koeficjenata polinoma { a_i}i nula polinoma {x_k} vaze jednakosti:
x₁ + x₂ + ... + x_n-1 + x_n = -a_n-1/a_n
(x₁x₂ +x₁x₃ +...+x₁x_n)+(x₂x₃ +x₂x₄ +...+x₂x_n)+...+x_n-1x_n = a_n-2/a_n
...
x₁x₂ ... x_n = (-1)ⁿ a₀/a_n

Vietove formule za polinom drugog stepena
P(x) = ax²+bx+c
cije su nule x₁ i x₂ glase:
x₁ + x₂ = -b/a
x₁x₂ = c/a
a za polinom treceg stepena P(x) = ax³ + bx² + cx + d cije su nule x₁, x₂ i x₃:
x₁ + x₂ + x₃ = -b/a
x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a
x₁x₂x₃ = -d/a.

Ako su svi koeficienti {a_i} polinoma P_n(x) realni, a polinom ima kompleksnu nulu α + iβ reda k, tada je α-iβ kompleksna nula tog polinoma reda k.
Kod polinoma sa realnim koeficientima, kompleksne nule se javljaju u parovima: kao kompleksan broj z i njemu konjugovano kompleksan broj z´.
Svaki polinom n-tog stepena sa realnim koeficientima moze da se faktorizuje, odnosno napise u obliku

P_n(x) = a_n(x-x₁)^k₁(x-x₂)^k₂ ...(x-x_i)^k_i(x²+b₁x+c₁)^l₁(x²+b₂x+c₂)^l₂... (x²+b_jx+c_j)^l_j

za k₁ + k₂ + ... + k_i + 2(l₁ + l₂ + ... + l_j = n pri cemu su a_n, x₁, x, ... , x_i, b₁, b_2, ..., b_j , c₁, c₂,..., cj
realni brojevi, a polinomi x₂ + b_jx + c_j nemaju realnih nula. Svakoj nuli k-tog reda a odgovarace jedan faktor oblika (x - a)^k a svakom paru konjugovano kompleksnih nula k-tog reda α±iβ faktor oblika (x² +bx+c)^k
gde su α±iβ kompleksna rjesenja kvadratne jednacine x² + bx + c = 0.

---