Centar za edukaciju-BiH

Predmet:Re: Skupovi brojeva

---

Broj 6174
Uzmimo neki cetverocifreni broj.

1. Poredajmo cifre u tom broju u rastuci niz (od najmanje prema najvecoj).
2. Poredajmo cifre u tom broju u opadajuci niz (od najvece prema najmanjoj).
3. Oduzmimo manji broj od vecega.

S dobivenim rezultatom ponovljamo korake 1 do 3

Primjer

Posmatrajmo broj 4482. Imamo dva broja 2448 i 8442
8442 - 2448 = 5994
postupak ponavljamo i imamo
9954 - 4599 = 5355
5553 - 3555 = 1998
9981 - 1899 = 8082
8820 - 288 = 8532 (nulu na prvom mjestu izostavljamo)
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1476 = 6174
Broj 6174 se ponavlja

---

Predmet:Re: Skupovi brojeva

---

Primjer 1:
1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = 101 * 50 = 5050

Definicija:

SAVRSENI BROJ je broj kod kojeg je zbroj svih njegovih djelitelja (osim njega samog) jednak njemu samom.

Primjer 2:
a) Broj 6
Djelitelji broja 6 koji su razliciti od njega samoga su brojevi 1, 2 i 3
Njihov zbroj je 1 + 2 + 3 = 6

b) Broj 28
Djelitelji: 1, 2, 4, 7 i 14
Zbroj: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

c) Broj 496
Djelitelji: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 i 248
Zbroj: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

Za pocetak evo jedan primjer.

Definicija:
PROST BROJ je broj koji je djeljiv samo sa 1 i sa samim sobom.

Definicija:
Prosti brojevi koji se razlikuju za dva zovu se BROJEVI BLIZANCI.

Primjer 3:

Brojevi blizanci su npr. brojevi:
a) 5 i 7
b) 11 i 13
c) 17 i 19

Definicija:
SPRIJATELJENI BROJEVI su parovi brojeva sa svojstvom da je svaki od njih jednak zbroju svih djelitelja (osim njega samoga) svog broja prijatelja.

Primjer 4:

Sprijateljeni brojevi su 220 i 284.
Djelitelji broja 220 razliciti od 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110
Djelitelji broja 284 razliciti od 284: 1, 2, 4, 71, 142
Zbirovi
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Jeste li znali ovo?

Najzanimljiviji primjeri tek slijede!

Primjer 5:

12345679 * 9 = 111111111
12345679 * 18 = 222222222
12345679 * 27 = 333333333
12345679 * 36 = 444444444
12345679 * 45 = 555555555
12345679 * 54 = 666666666
12345679 * 63 = 777777777
12345679 * 72 = 888888888
12345679 * 81 = 999999999

Primjer 6:

0 * 9 + 1 = 1
1 * 9 + 2 = 11
12 * 9 + 3 = 111
123 * 9 + 4 = 1111
1234 * 9 + 5 = 11111
12345 * 9 + 6 = 111111
123456 * 9 + 7 = 1111111
1234567 * 9 + 8 = 11111111
12345678 * 9 + 9 = 111111111
123456789 * 9 + 10 = 1111111111

Primjer 7:

0 * 9 + 8 = 8
9 * 9 + 7 = 88
98 * 9 + 6 = 888
987 * 9 + 5 = 8888
9876 * 9 + 4 = 88888
98765 * 9 + 3 = 888888
987654 * 9 + 2 = 8888888
9876543 * 9 + 1 = 88888888
98765432 * 9 + 0 = 888888888
987654321 * 9 - 1 = 8888888888

Primjer 8:

4² = 16
34²⁼= 1156
334² = 111556
3334² = 11115556
333342 = 1111155556
333334² = 111111555556
3333334² = 11111115555556
33333334² = 1111111155555556
333333334² = 111111111555555556
3333333334² = 11111111115555555556
33333333334² = 1111111111155555555556
3333333333342 = 111111111111555555555556
3333333333334² = 11111111111115555555555556
i tako dalje...

Primjer 9:
100 = 111 - 11
100 = 99 + 9 : 9
100 = 9 * 9 + 9 + 9 + 9 : 9
100 = 33 * 3 + 3 : 3
100 = 5 * 5 * 5 - 5 * 5
100 = ( 5 + 5 + 5 +5 ) * 5
100 = ( 5 * 5 - 5 ) * 5
100 = ( 5 + 5 ) * ( 5 + 5)
100 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 * 9
100 = 123 - 45 - 67 + 89
100 = 12 : 3 + 4 * 5 - 6 - 7 + 89

Primjer 10:
4 - 4 + 4 - 4 = 0
4 - 4 + ( 4 : 4 ) = 1
( 4 * 4 ) : (4 + 4) = 2
( 4 + 4 + 4 ) : 4 = 3
( 4 - 4 ) * 4 + 4 = 4
( 4 * 4 + 4 ) : 4 = 5
( 4 + 4 ) : 4 + 4 = 6
4 + 4 - ( 4 : 4 ) = 7
4 + 4 + 4 - 4 = 8
4 + 4 + ( 4 : 4 ) = 9

Primjer 11:

1973 = 1111 : 11 + 1111 * ( 1 + 1 ) - ( 11 + 11 + 11 ) * 11 + 11 + 1 + 1
1973 = 2222 - 222 - 22 - 2 * 2 - 2 : 2
1973 = 333 * ( 3 + 3 ) - 33 + 3 * 3 - 3 : 3
1973 = 44 * 44 + 44 - 4 - 4 + 4 : 4
1973 = 55 * 55 - 555 - 555 + 55 + ( 5 + 5 + 5 ) : 5
1973 = 6 * 6 * 6 * 6 + 666 + 66 : 6
1973 = 7777 : 7 + 777 + 77 + 7 + 7 : 7
1973 = ( 8 + 8 + 8 ) * 88 - ( 8 + 8 ) * 8 - 8 - ( 8 + 8 + 8 ) : 8
1973 = 99 * 9 + ( 99 - 9 ) * 9 + 9 * ( 9 + 9 ) + ( 999 - 9 ) : 9

Primjer 12:

9 + 9 = 18 dok je 9 * 9 = 81
24 + 3 = 27 dok je 24 * 3 = 72
47 + 2 = 49 dok je 47 * 2 = 94
263 + 2 = 265 dok je 263 * 2 = 526
497 + 2 = 499 dok je 497 * 2 = 994

Primjer 13:
1 = 1 * 1 / 1
121 = 22 * 22 / ( 1 + 2 + 1 )
12321 = 333 * 333 / ( 1 + 2 + 3 + 2 + 1 )
1234321 = 4444 * 4444 / ( 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 )
123454321 = 55555 * 55555 / ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 )
12345654321 = 666666 * 666666 / ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 )
1234567654321 = 7777777 * 7777777 / ( 1 + 2 +3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 )
i tako dalje...

---

Predmet:Re: Skupovi brojeva

---

Problem taksija je dobio ime po jednoj anegdoti vezanoj za matematicare G. H. Hardyja i Srinivasa Ramanujana.
Dok je indijski matematicar Ramanujan bio u bolnici u Londonu, u posjet mu je dosao njegov kolega Hardy. Hardy je spomenuo da je stigao s taksijem broj 1729, te dodao kako je taj broj sasvim nezanimljiv.

Ramanujan mu je odmah odgovorio da se s njim ne slaze, jer da je 1729 vrlo zanimljiv broj, a kao razlog je naveo da je to najmanji prirodan broj koji se moze prikazati zbir kubova dva prirodna broja na dva razlicita nacina.

Teorema

Za svaki prirodan broj M postoji prirodan broj m takav da jednacina
x³ + y³ = m
ima barem M rjesenja u skupu cijelih brojeva.

Mozemo postaviti pitanje koji je najmanji prirodni broj m koji se moze prikazati kao zbir kubova dva prirodna broja na M razlicitih nacina.
Taj broj se zove M-ti taksi-broj i oznacava se sa Ta(M).
Trivijalno je
Ta(1) = 2 = 1³ + 1^3.

Ta(2) = 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³
Poznato je jos da vrijedi



15170835645 = 517³ + 2468³ =
709³ + 2456³=
1733³ + 2152³.

n-ti cabtaxi broj, ozncavamo sa Cabtaxi (n), je najmanji pozitivni cijeli broj koji može biti napisan kao zbir dva pozitivna ili negativna ili 0 kocke na n nacine. Poznato je samo 10 takvih brojeva.

---

Predmet:Re: Skupovi brojeva

---

BROJ DEVET

Zbir cifara proizvoda broja 9 i bilo kog drugog broja, uvijek daje opet broj 9.

1 x 9 = 9 = 9 + 0 = 9
2 x 9 = 18 = 1 + 8 = 9
3 x 9 = 27 = 2 + 7 = 9
4 x 9 = 36 = 3 + 6 = 9
5 x 9 = 45 = 4 + 5 = 9
6 x 9 = 54 = 5 + 4 = 9
7 x 9 = 63 = 6 + 3 = 9
8 x 9 = 72 = 7 + 2 = 9
9 x 9 = 81 = 8 + 1 = 9

Isto vazi ako broj 9 pomnozimo sa bilo kojim brojem vecim od 9.

48x9=432=4+3+2=9
257x9=2313=2+3+1+3=9
75434x9=678906=6+7+8+9+0+6=3=36
896315472x9=8066839248=8+0+6+6+8+3
+9+2+4+8=54=5+4=9

---

Predmet:Re: Skupovi brojeva

---

Broj 9 se kod starih naroda smatrao savrsenim i potpunim, kao i trojka, koja je uostalom sadrzalac tog istog broja 9.

Broj 6 na neki nacin vezan za Jevreje. Tvrdili su da je svijet stvoren u 6 dana.
Pakao ima 9 krugova

BROJ 7

7 svjetskih cuda
7 dana u nedjelji
7 je zbir cifara na suprotnim stranama kockice za jamb
Snejzana i 7 patuljaka
Cizme od sedam milja
7 galaktickih pravaca
7 godina nesrece kad razbijes ogledalo
Broj slova, recenica, suglasnika i samoglasnika u Bibliji je djeljiv sa sedam
Rim je izgradjen na sedam brezuljaka
U Davidovoj Zvijezdi su ispisani brojevi od jedan do sedam, s tim sto je broj sedam u sredini zvijezde i dominira nad ostalim brojevima
7 (cijelih) nota
7UP (pice)
7 duginih boja
iza 7 mora i 7 gora se dogadjaju bajke...

Mnogi ljudi i danas kada pisu brojku 7 stavljaju crticu u donji dio broja. Ta crtica u teoriji ne postoji, ne moze se naci ni na tastaturi, ni na kalkulatoru ... No znate li odakle dolazi ta navika? Ona je, naime, nastala jos davno u doba kada se Mojsije popeo na planinu da bi zapisao 10 zapovijedi...
I kad je dosao do sedme zapovijedi rece mu Bog:
"Ne pozeli zenu bliznjega svoga"
Nakon muka i tisine narod povice:
"Precrtaj 7!"

---

Predmet:Re: Skupovi brojeva

---

Kada se od bilo kog broja (pod uslovom da je taj broj veći od 9), oduzme zbir njegovih cifara, taj novi broj je UVIJEK JE DJELJIV SA 9 ...
Meni to iz matematičke magije prelazi u nematematičku fantastiku:

10 – (1 + 0) = 10 – 1 = 9 : 9 = 1.
18 – (1 + 8 ) = 18 – 9 = 9 : 9 = 1
19 – (1 + 9) = 19 –10 = 9 : 9 = 1
24 – (2 + 4) = 24 – 6 = 18 : 9 = 2
48 – (4 + 8 ) = 48 – 12 = 36 : 9 = 4
157 – (1 + 5 + 7) = 157 – 13 = 144 : 9 = 16
2897– (2 + 8 + 9 + 7) = 2897 – 26 = 2871 : 9 = 319

Kad se i od tog novog broja od kojeg je već oduzeta razlika (u posljednjem primjeru taj novi broj je 2871)
oduzme zbir njegovih cifara, i ta nova razlika uvijek je djeljiva sa brojem 9, koliko god puta ponovili tu „operaciju“ oduzimanja zbira cifara od novog broja, s tim što je, izgleda, nakon prvog oduzimanja zbira cifara, svaki slijedeći zbir cifara novodobijenog broja (a ne samo novodobijeni broj) uvijek djeljiv sa 9.
2897 – (2 + 8 + 9 + 7 ) = 2897 – 26 = 2871 : 9 = 319
2871 – (2 + 8 + 7 + 1 ) = 2871 – 18 = 2853 : 9 = 317
2853 – (2 + 8 + 5 + 3 ) = 2853 – 18 = 2835 : 9 = 315
2835 – (2 + 8 + 3 + 5 ) = 2835 – 18 = 2817 : 9 = 313
2817– (2 + 8 + 1 + 7 ) = 2817 – 18 = 2799 : 9 = 311
2799 – (2 + 7 + 9 + 9 ) = 2799 – 27 = 2772 : 9 = 308

---

Predmet:Re: Skupovi brojeva

---

Kvadratnim brojevima pitagorejci su nazivali brojeve koji se mogu prikazati kao skup tacaka rasporedjenih u isti broj kolona i redova. To su brojevi 1, 4, 9, 16...

Mogu se prikazati na sljedeci nacin.

Vece kvadratne brojeve dobijamo konstruisuci veci kvadrat.
Peti kvadratni broj 52 dobijamo kao zbir prvih 5 neparnih brojeva.

5^2=1+3+5+7+9=25
6^2=1+3+5+7+9+11=36

Moze se dokazati da je zbir prvih n neparnih brojeva jednak n2, odnosno

1+3+5+⋯+(2n-1)=n^2
Dokazimo pomocu matematicke indukcije
Za n=1
(2*1-1)=2-1=1=1^2
Neka vazi za n. Dokazimo za (n+1)
1+3+5+⋯+(2n-1)+[2(n+1)+1]
1+3+5+⋯+(2n-1)+[2n+1]=n^2+2n+1
n(n+1)+(n+1)=(n+1)(n+1)=(n+1)^2

Trougaoni brojevi su brojevi koji se mogu rasporediti kao skupovi tacaka u ravni u obliku trougla. To su beojevi 1, 3, 6, 10...
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
Veci trougaoni brojevi grade se tako sto se konstuise veci trougao.
Peti trougaoni broj 15 je broj koji se dobije kao zbir prvih 5 prirodnih brojeva.
1+2+3+4+5=15
Za trougaone brojeve vazi:
1=(1*2)/2
1+2=(2*3)/2

1+2+3=(3*4)/2…
1+2+3+⋯n=(n(n+1))/2

Svi brojevi oblika (n(n+1))/2 su trougaoni brojevi.
Broj 1 je kvadratani i trougaoni.
Broj 36 moze se prikazati i kao kvadratni i kao trougaoni.

---