Centar za edukaciju-BiH

Predmet:Matematika u drevnoj indiji

---

”Dubina indijske misli je jedna nesumnjiva realnost ali njena velicina je u tacnoj dijagnozi o ogranicenosti razuma i u metodama kojima se prevazilaze slabosti diskurzivne logike a ne u razvoju logike i razuma per se”
Amori d’Reinkur “DUH INDiJE”
Indijska matematika je nastala na prostoru juzne Indije od vremena praistorije do XVIII vijeka. U tom periodu postojalo je nekoliko zaista genijalnih matematicara tog prostora danas nazalost zapostavljenih kao sto su Panini, Arijabata, Baskara II….
U Indiji su se u ranom periodu proucavali negativni brojevi, aritmetika, algebra i trigonometrija (prije nego kod Helena). Tako da je tada razvijen decimalni sistem kakav sada poznajemo , koncept nule kao broja kao i moderne definicije sinusa i kosinusa. Kasnije od klasicnog perioda do XVIII vijeka postignut je i ogroman napredak u
• aritmetici ( moderni pozicioni brojni sistem notacije, teorija brojeva, beskonacnost, transfinitni brojevi,iracionalni brojevi),
• geometriji (kvadratni korjen, kubni korjen, pitagorina teorema bez dokaza , pitagorina trojka)
• algebri (jednacine drugog treceg i cetvrtog stepena )
• matematickoj logici ( formalna-matematicka gramatika , rekurzija )
• opstoj matematici (logaritmi, rane verzije morzeove azbuke, fibonacijevi brojevi )
•trigonometriji (trigonometrijski nizovi, trigonometrijske funkcije arccos, arcsin ,tg ,arctg …)
A uspeli su i da dva vijeka prije Evrope definisu stepeni red kao i da daju osnove diferencijalnog i integralnog racuna, ali nisu imali sistematizovanu teoriju.
Rani naucni radovi pravljeni su na Sanskritu koji su se nalazili u delovima Sūtra, u kojima su iznoseni problemi ili pravila u stihu da bi se olaksalo pamcenje ucenicima. Zatim je slijedeo drugi dio u kome se nalazio prozni komentar (nekada i vise komentara raznih profesora) koji su sa mnogo vise detalja objasnjavali problem ili opravdavali resenje. Medjutim prozni dio se nije toliko cijenio vec vise sama ideja. Do otprilike 500 godine p.n.e svi tekstovi su prenoseni usmeno a od tada i usmeno ali i u rukopisima. Najstariji originalni matematicki dokument do sada pronadjen je Baksali (Baksali) rukopis pronadjen 1881 u istoimenom selu. Pronasao ga je slucajno jedan farmer u svom dvoristu, ali samo dijelove. Rukopis se nalazi na brezinoj kori i sadrzi razne algoritme kao i nacine rjesavanja raznih problema kao sto je nalazenje kvadratnog korjena ili dijeljenje negativnim brojevima. Tacna starost nije utvrdjena a pretpostavke se krecu od II vijeka stare do VII vijeka nove ere.

Primjer


Skoro svi matematicari drevne Indije su bili panditi (uceni ljudi), koji su ucili na sanskritu i posjedovali veliko znanje gramatike, egzegeze (kritike ) i logike. Pamcenje onoga sto su culi kroz recitacije je bilo od velikog znacaja u prenosenja svetih tekstova, pa danasnji istoricari drevne Indije kazu da je zaista nevjerovatno postignuce indijskih pandita to da su prenijeli toliko ogromno znanje tokom milenijuma.
Naravno oni su imali razne stilove pamcenja, pa tako neki dijelovi veda imaju i po 11 nacina recitovanja.
Neki od nacina recitovanja su jaṭā-pāṭha gdje se rijeci recituju po normalnom redu, pa onda po obrnutom pa poslije ponovo po originalnom:
rijec1rijec2, rijec2rijec1, rijec1rijec2; rijec2rijec3,
rijec3ijrec2, rijec2rijec3; …
ili dhvaja-pāṭha gde se sparuju prve dvije i zadnje dvije rijeci :
rijec1rijec2, rijec(N-1)rijecN; rijec2rijec3, rijec(N-3)rijec(N-2)….

Prvi u nizu velikih matematicara klasicnog perioda a mozda i najveci je svakako Arijabata . Njegovo najpoznatije delo danas je svakako Arijabatija koje je napisao kada je imao 23 godine, sto i sam navodi u tekstu pa se na osnovu toga predpostavlja da je rodjen 476 jer se na osnovu drugih izvora zna da je umro 550 godine. O njegovom imenu i porijeklu se i dalje vode polemike, ali se zna da je studirao u gradu Kusumaputra za koje istoricari tvrde da je danasnji grad Patna i da je kasnije bio vodja opservatorijuma na univerzitetu Nalanda 25 km jugoistocno od Patne.
Postoje informacije da je napisao jos dva rada Arija-sidanta, koji je izgubljen ali se o njemu saznaje na osnovu proznih komentara koje su napisali Bramagupta i Baskara I, a za drugi Al-nanf se pretpostavlja da je arapski prevod djela koje je u originalu napisao Arijabata.
Ipak delo koje je najpouzdanije je svakako Arijabatija. Ono je napisano u 108 stihova plus 13 uvodnih podeljenih u 4 pade ( poglavlja ) pa je zato napisano dosta „tijesno“ ali se naravno vise saznaje od komentatora. Djelo se bavi astronomijom i matematikom. U prvom djelu Gitikapanda (13 stihova ) pise se o kosmologiji, data je tabela sinusa i data je revolucija planeta za vrijeme mahajunge i on iznosi 4.32 miliona godina.
Drugi dio Ganitapada (33 stihova) i i on pokriva aritmeticku i geometrijsku progresiju , proste kvadratne i simultane jednacine kao i indeterminantne jednacine .
Treci dio Kalakriapada (25 stihova) posvecen je astronomije i tu se nalaze razlicite jedinice za vrijeme kao i metode za utvrdjivanje pozicija planeta za neki dan, racun prestupnih mjeseci kao i nazivi za sedmodnevnu nedjelju.
Cetvrti deo Galopada ( 50 stihova) , zadnji dio gdje su prikazani geometrijski i trigonometrijski aspekti nebeske sfere , kao i racun ekliptike, oblika zemlje uzrok smjene dana i noci, budjenje zodijackih znakova na horizontu .
Naravno, ni Arijabata ne bi bio veliki matematicar da ne daje svoj racun za broj π.
U drugom djelu ( ganitapada) on pise :
„Dodaj 4 broju 100, pomnozi sa 8 i onda dodaj to na 62000. Ovim pravilom moze se racunati obim za krug precnika 20000“
U prevodu:

Arijabata je i sam tvrdio da je ovo aproksimacija odnosno da je taj broj π nemjerljiv (iracionalan) sto je napredno. Iracionalnost broja π u Evropi dokazao Lambert tek 1716 godine.
Dalje, on daje i povrsinu trougla kao

za trougao povrsina se moze racunati kao normala pomnozena sa polovinom strane

U jednom svom manjem radu pod nazivom ardya-jya Arijabata raspravlja o konceptu sinusa . Ardya-jza je u stvari i bio prvi naziv sa sinus i to znaci „ pola- tetive“ , ali se vremenom naziv skratio samo na jya . Kasnije su ovo preveli arabljani, a na njihom jeziku se pisalo jiab (jiab znaci zaliv).U XII vijeku Gerado od Kremone je ovo preveo na latinski sinus sto isto znaci zaliv.
Od algebre u Arijabatiji se daje rjesenje niza kvadrata:


Ipak najveci doprinos Arijabata je svakako dao u astronomiji.
On je vjerovao da se Zemlja krece oko svoje ose. Ovo tvrdjenje objasnjava kretanje zvijezda kao relativno kretanje koje je uzrokovano kretanjem Zemlje oko svoje ose.
„Kao covjek u camcu koji se krece napred i koji vidi nepomicne predmete kako se krecu unazad, tako i nepomicne zvijezde ljudima iz Lanke ( danasnja Sri Lanka) izgledaju da se krecu ka zapadu.“
Ovdje se Sri Lanka koristi kao ekvator.
Arijabata je opisao i geocentricni sistem u kome se Mjesec i Sunce okrecu oko Zemlje po dva epiciklusa …. Takodje daje se i raspored planeta po udaljenosti od Zemlje : Mjesec, Merkur, Venera, Sunce, Jupiter, Saturn .
Zadivljujuci su i njegovi racuni o pomracenju Mjeseca koje se desava kada Mjesec udje u zemljinu sjenku a jedan francuski astronom je nasao proracune o pomracenju 8.08.1765 koja su bila kraca za 41 sec, zemljine sjenke kao i zemljin obim 39,98.0582 sto je za 0.2 % manje od danasnje vrijednosti od 40 075.0167. Period rotacije Zemlje oko nepokretnih zvezda je 23:56:4.091 a duzina takve godine je 365 dana 6 sati 12 minuta i 30 sekundi .
Matematicki ovo je bitno jer je u svom metodu racunanja on dosao do osnova integralnog i diferencijalnog racuna. Naime, da bi razvijo bolji racun lunarne eklipse on uvodi pojam beskonacnosti (tatkalika gati) da bi utvrdio tacnije kretanje Mjeseca.
A u samom utvrdjivanju tog kretana on koristi osnovne diferencijalne jednacine kao i eksponencijalnu funkciju e (danacnji ojlerov broj) ….
Dalje je njegov aparat u X. vijeku razvio Mandzula koji je shvatio da izraz
sinω'=sinω
moze napisati u obliku
(ω'-ω)cosω
Trigonometrijski racun dalje je prosirio Varahamira koji je dao neke osnovne trigonometrijske identitete npr:

---

Predmet:Re: Matematika u drevnoj indiji

---

Drugi u hronoloskom nizu velikih astronoma i matematicara drevne Indije je Bramagupta. On je rodjen 598 godine u sjeverozapadnoj Indiji, a vecinu zivota proveo je gradu Bilamal (danasnji Binmal) gdhe je bio vodja opservatorijuma. Za vrijeme provedeno tamo napisao je cetiri teksta vezana za matematiku i astronomiju od kojih je najbitniji Bramasputasidanta (pravilno utvrdjene doktrine Brahme) koje se sastoje iz 25 poglavlja, a odatle se i najvise zna o njegovom zivotu i mjestu boravka. Umro je 668 godine.
Glavni doprinos dao je u algebri, aritmetici , gometriji, trigonometriji i astronomiji.
Bramagupta daje resenje opste linearne jednacine kao:


Bitna odlika njegove aritmetike je i to sto je on prvi poceo da tretira nulu kao broj. Pa je i opisao operacije sa nulom gde navodi da je :
Zbir dva pozitvna broja je pozitivan, dva negativna je negativan, negativnog i pozitinog je njihova razlika . Zbir pozitivnog i nule je pozitivan , a negativnog i nule je negativan
Za dijeljenje je napisao:
Pozitivan podijeljen pozitivnim i negativan podeljen negativnim je pozitivan , nula podeljena nulom je nula , pozitivan podijeljen negativnim je negativan a pozitivan ili negativan podeljen nulom je nula
Ovo je jako zanimljivo jer kod njega 0/0 =0 sa cim se ni neki drugi indijski matematicari nisu slagali a ovaj problem je i danas nedefinisan u matematici.
Rjesenja diofantske i pelove jednacine su takodje bitna, ali …
U geometriji je danas poznata bramaguptina forula slicna heronovom obrascu koja se koristi za povrsinu cetvorougla i koja kaze :

Ova teorema se koristi za tetivni cetvorougao i kaze da su njegove dijagonale medjusobno normalne, kao i da normala na stranu od tacke presjeka dijagonale uvijek polovi suprotnu stranu.
Naravno i on daje formulu za π koja je vrlo „prakticna“ i iznosi √10
Nakon ovoga mogu se naci dijelovi posveceni geometriji i racunanju povrsine i zapremine ravnih zarubljenih i pravougaonih figura, kao sto su prizme i piramide.
Jedno zaista nevjerovatno dostignuce je interpolaciona formula. Odnosno formula za racunanje vrijednosti funkcije dvije velicine kada se izmedju njih umetne treca. Ova formula je za poseban slucaji daje pribliznu vrijednost funkcije f vrijednosti

a+xh a+xh (h>0i -1≤x≤1

Najveci trag ipak ostavio je u astronomiji, pa se kaze da su Arabljani svoja dva saznanja o astronomiji stekli upravo iz prevoda bramaguptine brahmaspudasidante. On tu izmedju ostalog objasnjava da je Mjesec blizi Zemlji od Sunca i da osvjetljenost Mjeseca zavisi od relativne pozicije Sunca i Mjeseca.
Jos bitniji je njegov odgovor na jednu kritiku zbog navoda da je Zemlja sfera a ne ploca, jer da je tako „kamenje i ploce bi padale sa zemlje“…
Na to je on odgovorio :
„[b]Sve teske stvari su privucene ka centru Zemlje , Zemlja je sa svih svojih strana ista, svi ljudi na Zemlji stoje uspravno , i sve teske stvari padaju ka zemlji po zakonima priride, jer je priroda Zemlje da privlaci i zadrzava ove stvari kao sto je priroda vode da tece , vatre da gori a vetra da se krece. … Zemlja je jedina niska

---

Predmet:Re: Matematika u drevnoj indiji

---

Gledano kroz istoriju matematike Djainizam predstavlja prelazno doba izmedju Veda i Klasicnog perioda i traje priblizno od 400. godine p.n.e do 200. godine n.e. Najznacajnija obiljezja ovog vremena su oslobadjanje od religijskih uticaja, fascinacije ogromnim brojevima i beskonacnoscu. Djainisti vjeruju da svijet nikad nije poceo i nikad nece da se zavrsi, a duse na kraju postaju prosvetljene i napustaju centar zemlje ove karmicke iluzije mora da postoji beskonacnost dusa. Takodje u njihovoj kosmologiji se dolazi do broja 2588 koji predstavlja ukupni period vremena, koji se srece samo u njihovoj kulturi.
Ovo je dovelo i do klasifikacije svih brojeva na prebrojive, neprebrojive i beskonacne. Zatim odredili su pet tipova beskonacnosti: beskonacnost u jednom pravcu, beskonacnost u dva pravca, beskonacnost u oblasti, beskonacnost svuda i stalna (perpetualna) beskonacnost.
Matematicari ovoga doba otkrili su i notaciju prostih stepena brojeva kao sto su kvadrati i kubovi koja im je omogucili da definisu jednostavne algebarske jednacine. Oni su bili i prvi koji su koristili termin za nulu (shunya – na sanskritu ponisti).
Doprinosi matematici u ovo vrijeme su bili : aritmeticke operacije, geometrija , operacije sa razlomcima , proste jednacine, jednacine treceg i cetvrtog stepena, formula za π i operacije sa logaritmima.
Najznacajniji matematicar ovog vremena bio je Pingala.
Pingala je cuveni indijski matematicar i pesnik, a najpoznatije djelo mu je Chandas Sutra. Ovo djelo ima osam glava i predstavlja sanskritsku raspravu o prozodiji. Napisano je izmedju II i V vijeka pne , danas je poznato samo u fragmentima a o njemu se jos saznaje i od indijskog matematicara X vijeka Halajude koji je dao prozni komentar djela.
Kao matematicar Pingala je naisao na Paskalov trougao i binomne koeficijente kao probleme koje je definisao ali o kojima nije imao predznanje kao i na fibonacijeve brojeve .Paskalov trougao je dosao kao posledica interesovanja za kombinacije i permutacije za koje daju i vrlo tacne formule :


Nacrtajte kvadrat. Pocevsi od sredine s donje ivice kvadrata nacrtajte dva slicna kvadrata ispod njega, i jos tri kvadrata ispod njih. Pri 0biljezavanju stavite 1 u gornji kvadrat i dva ispod njega. U trecu liniju (red) stavite 1 u kvadrate na kraju a u onaj srednji zbir brojeva kvadrata iznad njega . U cetvrti red stavite 1 u krajnje kvadrate, a u one srednje zbir brojeva kvadrata iznad njih. Nastavite ovako. Od ovih linija druga daje kombinaciju sa jednim slogom , a treca kombinaciju sa dva sloga….

U tekstu se pokazuje i svijest o kombinatornom identitetu :

---

Predmet:Re: Matematika u drevnoj indiji

---

Srinivasa Ramanujan
(22.12.1887 – 26.04.1920)

Jedan og najvecih matematicara Indije. Vec sa 10 godina pokazao je interesovanje za matematiku. Dobio je knjige o trigonometrij, koje je napisao SL Loney. Do 12-e godine
Sa 12 god pronasao je i neke svoje teoreme. Pokazao neobicne matematicke vjestine u skoli, osvojivsi priznanja i nagrade. Do 17godine proucavao je Bernoullijeve brojeve i Euler-Mascheronijevu konstantu.
U periodu od 1912 do 1913, poslao je ptomjrtke svoje reoreme trojici i akademika na Sveucilistu Cambridge, od kojih je samo jHardy prepoznao genijalnost njegovog rada. Pozvao ga je da ga posjeti i radi sa njim u Cambridgu. Postao je Fellow of Royal Society i za jednog Fellow of Trinity College, Cambridge. Umiro je od bolesti, neuhranjenosti i infekcije o jetre infekcije 1920 u 32-oj godini.
Tokom svog kratkog zivota, Ramanujan samostalno sastavio gotovo 3900 rezultata (uglavnom identiteta i jednacina). Mali broj ih je lazni, neeki su vec bili poznati ali je vecina kasnije dokazana. Neka od njegovih blavnih otkrica tek sada nalaze svohu primjenu u kristalografiji i teorija struna.

Uz pomoc V. Ramaswamy Aiyer svoj rad objavio je u casopisu Journal of Indian Mathematical Society.
Jedan od prvih problema objavljenih u casopisu bio je;


Uploaded with ImageShack.us


Uploaded with ImageShack.us

---