iCentar » Nauka » Matematika » Algebra

roza	22.09.2010 18:53
Predmet:Elementarna algebra ELEMENTARNA ALGEBRA je osnovna algebra koju izucavaju ucenici sa malo ili nimalo formalnog znanja iz oblasti matematike izuzev aritmetike. Dok se u aritmetici javljaju samo brojevi i njihove aritmeticke operacije: sabiranje (+) oduzimanje (−) mnozenje (×) dijeljenje ( ÷) U algebri se koriste simboli (poput x i y, ili a i b) za oznacavanje brojeva. Ovi simboli se nazivaju PROMJENLJIVE. One su korisne jer: omogucavaju da se generalizacije aritmetickih jednacina (i nejednacina) izraze u obliku zakona (kao sto je a + b = b + a za svako a i b), a ovo je prvi korak u sistematskom izucavanju osobina realnih brojeva. omogucavaju pozivanje na brojeve koji nisu poznati. U kontekstu problema, promjenljiva moze da predstavlja neku vrijednost koja nije poznata, ali moze biti rijesena kroz formulaciju i manipulaciju jednacinama. omogucavaju proucavanje matematickih odnosa izmedju velicina (poput ako prodas x karata, onda ce tvoj profit iznositi 3x − 10 KM). U elementarnoj algebri, izraz moze da sadrzi brojeve, promjenljive i aritmeticke operacije. Primjer: x+3 y² +2x -3 z⁷+a(b+x³)+42/y* ∏ U malo naprednijoj algebri, izraz moze da sadrzi i elementarne funkcije. JEDNACINA predstavlja tvrdnju da su dva izraza jednaka. Neke jednacine su tacne za sve vrijednosti promenljivih koje se u njima pojavljuju (na primer a + b = b + a); takve izraze nazivamo IDENTITETIMA. Uslovne jednacine su tacne samo za neke vrijednosti svojih promenljivih: x²− 1 = 4. Vrijednosti promjenljivih koje cine da jednacina bude tacna se nazivaju rjesenjima jednacine. Zakoni elementarne algebre Sabiranje je KOMUTATIVNA operacija (zbir dva broja je isti nezavisno od redosljeda u kojem ih zapisujemo). Oduzimanje je operacija suprotna sabiranju. Oduzimanje je isto sto i sabiranje negativnim brojem: a-b=a+(-b) Primjer: 5 + x = 3 => x = − 2. Mnozenje je KOMUTATIVNA operacija. Dijeljenje je operacija suprotna mnozenju. Podijeliti jedan broj drugim je isto sto i pomnoziti ga reciprocnom vrednoscu drugog broja: a/b=a(1/b) Stepenovanje nije komutativna operacija. Zato stepenovanje ima dvije suprotne operacije: logaritmovanje stepenovanje reciprocnim eksponentom (na primer kvadratni korjen). Primjeri: (3^x)(10) => x = log₃(10) x² = 10 => x = 10^1/2 Kvadratni korjen negativnih brojeva ne postoji u sistemu realnih brojeva ( postoji u skupu kompleksnih brojeva) ASOCIJATIVNOST sabiranja i mnozenja (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc). DISTRIBUTIVNOST mnozenja u odnosu na sabiranje: c(a + b) = ca + cb. DISTRIBUTIVNOST stepena u odnosu na mnozenje: (ab)^c = a^cb^c Kombinovanje eksponenata: a^ba^c= a^(b+c) Stepen stepena: (a^b)^c = a^bc Zakoni jednakosti (a = b i b = c)=> a = c TRANZITIVNOST jednakosti a = a REFLEKSIVNOST jednakosti Ako a = b onda b = a SIMETRIJA jednakosti Drugi zakoni ( a = b i c = d)=> a + c = b + d. Ako a = b onda a + c = b + c za svako c (ADICIONO svojstvo jednakosti) (a = b i c = d)=> ac = bd Ako a = b onda ac = bc za svako c (MULTIPLIKATIVNO svojstvo jednakosti) Ako su dva simbola jednaka, onda se jedan moze zamijeniti drugim po zelji (princip smjene) (a > b i b > c)=>a> c tranzitivnost nejednakosti a > b => a + c > b + c za svako c ( a > b i c > 0)=> ac > bc ( a > b i c < 0)=> ac < bc

roza

22.09.2010 18:53

Predmet:Elementarna algebra

ELEMENTARNA ALGEBRA je osnovna algebra koju izucavaju ucenici sa malo ili nimalo formalnog znanja iz oblasti matematike izuzev aritmetike. Dok se u aritmetici javljaju samo brojevi i njihove aritmeticke operacije:
sabiranje (+)
oduzimanje (−)
mnozenje (×)
dijeljenje ( ÷)

U algebri se koriste simboli (poput x i y, ili a i b) za oznacavanje brojeva. Ovi simboli se nazivaju PROMJENLJIVE. One su korisne jer:
omogucavaju da se generalizacije aritmetickih jednacina (i nejednacina) izraze u obliku zakona (kao sto je a + b = b + a za svako a i b), a ovo je prvi korak u sistematskom izucavanju osobina realnih brojeva.
omogucavaju pozivanje na brojeve koji nisu poznati. U kontekstu problema, promjenljiva moze da predstavlja neku vrijednost koja nije poznata, ali moze biti rijesena kroz formulaciju i manipulaciju jednacinama.
omogucavaju proucavanje matematickih odnosa izmedju velicina (poput ako prodas x karata, onda ce tvoj profit iznositi 3x − 10 KM).
U elementarnoj algebri, izraz moze da sadrzi brojeve, promjenljive i aritmeticke operacije.

Primjer:
x+3
y² +2x -3
z⁷+a(b+x³)+42/y* ∏
U malo naprednijoj algebri, izraz moze da sadrzi i elementarne funkcije.

JEDNACINA predstavlja tvrdnju da su dva izraza jednaka. Neke jednacine su tacne za sve vrijednosti promenljivih koje se u njima pojavljuju (na primer a + b = b + a); takve izraze nazivamo IDENTITETIMA. Uslovne jednacine su tacne samo za neke vrijednosti svojih promenljivih: x²− 1 = 4. Vrijednosti promjenljivih koje cine da jednacina bude tacna se nazivaju rjesenjima jednacine.

Zakoni elementarne algebre

Sabiranje je KOMUTATIVNA operacija (zbir dva broja je isti nezavisno od redosljeda u kojem ih zapisujemo).
Oduzimanje je operacija suprotna sabiranju.
Oduzimanje je isto sto i sabiranje negativnim brojem:
a-b=a+(-b)
Primjer:
5 + x = 3 => x = − 2.
Mnozenje je KOMUTATIVNA operacija.
Dijeljenje je operacija suprotna mnozenju.
Podijeliti jedan broj drugim je isto sto i pomnoziti ga reciprocnom vrednoscu drugog broja:
a/b=a*(1/b)

Stepenovanje nije komutativna operacija.
Zato stepenovanje ima dvije suprotne operacije:
logaritmovanje
stepenovanje reciprocnim eksponentom (na primer kvadratni korjen).
Primjeri:
(3^x)*(10) => x = log₃(10)
x² = 10 => x = 10^1/2

Kvadratni korjen negativnih brojeva ne postoji u sistemu realnih brojeva ( postoji u skupu kompleksnih brojeva)

ASOCIJATIVNOST sabiranja i mnozenja
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc).

DISTRIBUTIVNOST mnozenja u odnosu na sabiranje:
c(a + b) = ca + cb.

DISTRIBUTIVNOST stepena u odnosu na mnozenje:
(ab)^c = a^cb^c
Kombinovanje eksponenata: a^ba^c= a^(b+c)
Stepen stepena: (a^b)^c = a^bc

Zakoni jednakosti

(a = b i b = c)=> a = c TRANZITIVNOST jednakosti
a = a REFLEKSIVNOST jednakosti
Ako a = b onda b = a SIMETRIJA jednakosti

Drugi zakoni

( a = b i c = d)=> a + c = b + d.
Ako a = b onda a + c = b + c za svako c (ADICIONO svojstvo jednakosti)
(a = b i c = d)=> ac = bd
Ako a = b onda ac = bc za svako c (MULTIPLIKATIVNO svojstvo jednakosti)
Ako su dva simbola jednaka, onda se jedan moze zamijeniti drugim po zelji (princip smjene)
(a > b i b > c)=>a> c tranzitivnost nejednakosti
a > b => a + c > b + c za svako c
( a > b i c > 0)=> ac > bc
( a > b i c < 0)=> ac < bc

roza	22.09.2010 19:30
Predmet:Re: Elementarna algebra Linearne jednacine jedne promejnljive Najjednostavnije jednacine su LINEARNE jednacine koje imaju samo jednu promjenljivu. One sadrze samo konstantne brojeve i jednu promjenljivu bez eksponenta. Primjer: 2x+4=12 Oduzimanjem 4 sa obe strane zadane jednacine dobijamo 2x+4-4=12-4 sto se pojednostavljuje na: 2x=8 Deljenjem obe strane brojem 2: 2x/2 =8/2 dobijamo x=4 Opsti slucaj, ax=b i ax+b=c rjesenje je x=b/a i x=(c-b)/a KVADRATNE jednacine mogu da se izraze u obliku ax²+ bx + c = 0, gdje je a ≠ 0 ( kad bi bilo jednako nuli, jednacina ne bi bila kvadratna vec linearna). Zbog ovoga, kvadratna jednacina mora da sadrzi ax². Kako je a ≠ 0, mozemo podijeliti jednacinu sa a i da preuradimo jednacinu na standardni oblik X²+ px=q gdje je p = b/a а q = −c/a. Rjesavanje ovoga, procesom dopune do kvadrata, vodi do KVADRATNE FORMULE. Sistem linearnih jednacina U slucaju kada imamo sistem linearnih jednacina, npr dvije jednacine sa dvije nepoznate, cesto je moguce naci rjesenja za obe promjenljive koje zadovoljavaju obe jednacine. Primjer sistema linearnih jednaccna mogao bi da bude sljedece: 4x+2y=14 2x-y=1 Mnozenjem izraza u drugoj jednacini sa 2 dobijamo: 4x+2y=14 4x-2y=2 Sabiranjem jednacina, dobije se: 8x=16 sto se moze pojednostaviti x=2 Kako nam je sada poznato da je x = 2, moguce je izracunati da je y = 3 iz bilo koje od dvije pocetne jednacine (umetanjem 2 umjesto x). Kompletno rjesenje ovog sistema je x=2 i y=3 Ovo nije jedini nacin da se rijesi ovaj sistem; mogli smo da nadjemo y prije nego sto smo nasli x. Drugi nacin za rjesavanje istog sistema linearnih jednacina je smjenom. 4x+2y=14 2x-y=1 Ekvivalent y se moze naci koristenjem jedne od ovih jednacina. Mi cemo y naci iz druge jednacine. 2x-y=1 Oduzimanjem 2x sa obe strane jednacine: 2x-2x -y=1-2x -y=1-2x i mnozenjem sa -1 dobijamo: y=2x-1 Koristenjem ove vrijednosti y u prvoj jednacini pocetnog sistema: 4x+2(2x-1)=14 4x+4x-2=14 8x-2=14 Dodavanjem 2 sa obe strane jednacine: 8x-2+2=14+2 8x=16 sto se moze pojednostaviti x=2 Koristenjem ove vrijednosti u obe jednacine dobija se isto rjesenje kao i kod prethodnog metoda. x=2 i y=3 Takodje, ni ovo nije jedini nacin da se rijesi ovaj sistem; i ovde smo mogli prvo da izracunamo y pa onda x. Nerjesivi sistemi U gornjem primjeru, moguce je naci rjesenje sistema. Medjutim, postoje i sistemi linearnih jednacina koje nemaju rjesenje. Ocigledan primjer je: x+y=1 Ox+0y=1 Druga jednacina u sistemu nema rjesenje, pa ni sistem ne moze biti rijesen. Medjudjutim, nije sve nezadovoljive sisteme moguce prepoznati. Uzmimo na primjer sistem: 4x+2y=12 -2x-y=-4 Ako pokusamo da rijesimo ovaj sistem (koristenjem metode smjene koji je gore objasnjen, druga jednacina nakon dodavanja − 2x na obe strane i mnozenjem sa −1, daje: y=-2x+4 A kada se ovo iskoristi kao vrijednost y u prvoj jednacini: 4x+2(-2x+4)=12 4x-4x+8=12 8=12 Nema preostalih promjenljivih, a jednakost nije tacna. Ovo znaci da prva jednacina ne moze da da rjesenje za vrijednost y dobijenu iz druge jednacine. Neodredjeni sistemi Postoje i sistemi sa visestrukim rjesenjima ili beskonacnim brojem rjesenja, za razliku od sistema sa jedinstvenim rjesenjem (gdje na primjer postoje jedinstvene vrednosti za x i y). Na primjer: 4x+2y=12 -2x-y=-6 Ako izolujemo y u drugoj jednacini: y=-2x+6 I iskoristimo ovu vrijednost u prvoj jednacini sistema: 4x+2(-2x+6)=12 4x-4x+12=12 12=12 Ova jednakost je tacna, ali nam ne daje vrijednost za x. Lako se moze provjeriti (upisivanjem nekih vrijednosti za x) da za svako x postoji resenje, sve dok je y = −2x + 6. Postoji beskonacan broj rjesenja ovog sistema.

roza

22.09.2010 19:30

Predmet:Re: Elementarna algebra

Linearne jednacine jedne promejnljive
Najjednostavnije jednacine su LINEARNE jednacine koje imaju samo jednu promjenljivu. One sadrze samo konstantne brojeve i jednu promjenljivu bez eksponenta.

Primjer:
2x+4=12
Oduzimanjem 4 sa obe strane zadane jednacine dobijamo
2x+4-4=12-4
sto se pojednostavljuje na:
2x=8
Deljenjem obe strane brojem 2:
2x/2 =8/2
dobijamo
x=4
Opsti slucaj,
ax=b i
ax+b=c
rjesenje je x=b/a i x=(c-b)/a

KVADRATNE jednacine mogu da se izraze u obliku
ax²+ bx + c = 0, gdje je a ≠ 0 ( kad bi bilo jednako nuli, jednacina ne bi bila kvadratna vec linearna).
Zbog ovoga, kvadratna jednacina mora da sadrzi ax². Kako je a ≠ 0, mozemo podijeliti jednacinu sa a i da preuradimo jednacinu na standardni oblik
X²+ px=q
gdje je p = b/a а q = −c/a.
Rjesavanje ovoga, procesom dopune do kvadrata, vodi do KVADRATNE FORMULE.

Sistem linearnih jednacina

U slucaju kada imamo sistem linearnih jednacina, npr dvije jednacine sa dvije nepoznate, cesto je moguce naci rjesenja za obe promjenljive koje zadovoljavaju obe jednacine.

Primjer sistema linearnih jednaccna mogao bi da bude sljedece:

4x+2y=14
2x-y=1
Mnozenjem izraza u drugoj jednacini sa 2 dobijamo:
4x+2y=14
4x-2y=2
Sabiranjem jednacina, dobije se:
8x=16
sto se moze pojednostaviti
x=2
Kako nam je sada poznato da je x = 2, moguce je izracunati da je y = 3 iz bilo koje od dvije pocetne jednacine (umetanjem 2 umjesto x).
Kompletno rjesenje ovog sistema je
x=2 i y=3

Ovo nije jedini nacin da se rijesi ovaj sistem; mogli smo da nadjemo y prije nego sto smo nasli x.
Drugi nacin za rjesavanje istog sistema linearnih jednacina je smjenom.
4x+2y=14
2x-y=1
Ekvivalent y se moze naci koristenjem jedne od ovih jednacina. Mi cemo y naci iz druge jednacine.
2x-y=1
Oduzimanjem 2x sa obe strane jednacine:
2x-2x -y=1-2x
-y=1-2x
i mnozenjem sa -1 dobijamo:
y=2x-1
Koristenjem ove vrijednosti y u prvoj jednacini pocetnog sistema:
4x+2(2x-1)=14
4x+4x-2=14
8x-2=14
Dodavanjem 2 sa obe strane jednacine:
8x-2+2=14+2
8x=16
sto se moze pojednostaviti
x=2
Koristenjem ove vrijednosti u obe jednacine dobija se isto rjesenje kao i kod prethodnog metoda.
x=2 i y=3

Takodje, ni ovo nije jedini nacin da se rijesi ovaj sistem; i ovde smo mogli prvo da izracunamo y pa onda x.

Nerjesivi sistemi

U gornjem primjeru, moguce je naci rjesenje sistema. Medjutim, postoje i sistemi linearnih jednacina koje nemaju rjesenje.
Ocigledan primjer je:
x+y=1
Ox+0y=1
Druga jednacina u sistemu nema rjesenje, pa ni sistem ne moze biti rijesen. Medjudjutim, nije sve nezadovoljive sisteme moguce prepoznati.

Uzmimo na primjer sistem:

4x+2y=12
-2x-y=-4
Ako pokusamo da rijesimo ovaj sistem (koristenjem metode smjene koji je gore objasnjen, druga jednacina nakon dodavanja − 2x na obe strane i mnozenjem sa −1, daje:
y=-2x+4
A kada se ovo iskoristi kao vrijednost y u prvoj jednacini:
4x+2(-2x+4)=12
4x-4x+8=12
8=12
Nema preostalih promjenljivih, a jednakost nije tacna. Ovo znaci da prva jednacina ne moze da da rjesenje za vrijednost y dobijenu iz druge jednacine.

Neodredjeni sistemi

Postoje i sistemi sa visestrukim rjesenjima ili beskonacnim brojem rjesenja, za razliku od sistema sa jedinstvenim rjesenjem (gdje na primjer postoje jedinstvene vrednosti za x i y).

Na primjer:

4x+2y=12
-2x-y=-6
Ako izolujemo y u drugoj jednacini:
y=-2x+6
I iskoristimo ovu vrijednost u prvoj jednacini sistema:
4x+2(-2x+6)=12
4x-4x+12=12
12=12
Ova jednakost je tacna, ali nam ne daje vrijednost za x. Lako se moze provjeriti (upisivanjem nekih vrijednosti za x) da za svako x postoji resenje, sve dok je y = −2x + 6. Postoji beskonacan broj rjesenja ovog sistema.

roza	16.10.2010 19:57
Predmet:Re: Elementarna algebra Broj 142857 U pitanju je jedan od najneobicnijih brojeva u matematici. Pri mnozenju ovog broja jacljaju se neobicnosti. U proizvodu se javljaju iste cifre. Pomnozimo ga sa 2, 3, 4, 5 i 6. 142 857 x 2 = 285 714 (14 je sa lijeve strane preslo na desnu) 142 857 x 3 = 428 571 ( jedinica je sa lijeve presla na desnu stranu). 142 857 x 4 = 571 428. 142 857 x 5 = 714 285 142 857 x 6 = 857 142 Ako broj mnozimo dalje sa 7 desava se nesto sasvim drugacije 142 857 x 7 = 999 999 Sa 8 142 857 x 8 = 1 142 856 Sada nam fali samo sedmica koja je sada podijeljena u dva broja, 6 i 1. Pomnozimo sa 9. 142 857 x 9 = 1 285 713 Jedina cifra koja sada nedostaje je 4, koja se rastavila na 3 sa desne i 1 sa lijeve strane. Neobicnosti vezane za broj 142 857 se javljaju i kada ga pomnozimo sa 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 i tako dalje. Ove neobicnosti su uslovile da se broj 142 857 smatra jednim od najtajanstvenijih u svijetu matematike

roza

16.10.2010 19:57

Predmet:Re: Elementarna algebra

Broj 142857

U pitanju je jedan od najneobicnijih brojeva u matematici. Pri mnozenju ovog broja jacljaju se neobicnosti. U proizvodu se javljaju iste cifre.

Pomnozimo ga sa 2, 3, 4, 5 i 6.
142 857 x 2 = 285 714 (14 je sa lijeve strane preslo na desnu)
142 857 x 3 = 428 571 ( jedinica je sa lijeve presla na desnu stranu).
142 857 x 4 = 571 428.
142 857 x 5 = 714 285
142 857 x 6 = 857 142

Ako broj mnozimo dalje sa 7 desava se nesto sasvim drugacije
142 857 x 7 = 999 999
Sa 8
142 857 x 8 = 1 142 856
Sada nam fali samo sedmica koja je sada podijeljena u dva broja, 6 i 1.
Pomnozimo sa 9.
142 857 x 9 = 1 285 713
Jedina cifra koja sada nedostaje je 4, koja se rastavila na 3 sa desne i 1 sa lijeve strane.

Neobicnosti vezane za broj 142 857 se javljaju i kada ga pomnozimo sa 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 i tako dalje. Ove neobicnosti su uslovile da se broj 142 857 smatra jednim od najtajanstvenijih u svijetu matematike

roza	08.09.2012 21:29
Predmet:Re: Elementarna algebra Ako brojeve od 1 do 8 pomnozimo brojem 8,pa onda sabiramo cifre rezultata sve dok ne ostane samo jedna cifra,8 u postepenoj koloni postepeno opada do 1.Grci su kao i ostale kulture ovo smatrali znacajnim. 18= 8...8...8 28=16...7...7 38=24...6...6 48=32...5...5 58=40...4...4 68=48...12...3 78=56...11... 2 88=64...10...1

roza

08.09.2012 21:29

Predmet:Re: Elementarna algebra

Ako brojeve od 1 do 8 pomnozimo brojem 8,pa onda sabiramo cifre rezultata sve dok ne ostane samo jedna cifra,8 u postepenoj koloni postepeno opada do 1.Grci su kao i ostale kulture ovo smatrali znacajnim.

1*8= 8...8...8

2*8=16...7...7

3*8=24...6...6

4*8=32...5...5

5*8=40...4...4

6*8=48...12...3

7*8=56...11... 2

8*8=64...10...1

roza	30.04.2013 14:14
Predmet:Re: Elementarna algebra Treba naci x i y tako da je x+y+xy=1 y+xy=1-x y(1+x)=1-x y=(1-x)/(1+x) y=c/d i x=a/b c/d=(1-a/d)/(1+a/d) c/d=((b-a)/b)/((b+a)/b)=(b-a)/(b+a) c=b-a d=b+a za a/b=3/5 imamo c/d=(5-3)/(5+3)=2/8=1/4 za a/b)=1/4 je c/d=(4-1)/(4+1)=3/5 evo nekoliko primjera 1/15 + 7/8 + 1/157/8 3/19 + 8/11 + 3/198/11 5/14 + 9/19 + 5/149/19 6/17 + 11/23 + 6/1711/23

roza

30.04.2013 14:14

Predmet:Re: Elementarna algebra

Treba naci x i y tako da je
x+y+xy=1

y+xy=1-x
y(1+x)=1-x
y=(1-x)/(1+x)
y=c/d i x=a/b
c/d=(1-a/d)/(1+a/d)

c/d=((b-a)/b)/((b+a)/b)=(b-a)/(b+a)
c=b-a
d=b+a

za a/b=3/5 imamo c/d=(5-3)/(5+3)=2/8=1/4
za a/b)=1/4 je c/d=(4-1)/(4+1)=3/5

evo nekoliko primjera

1/15 + 7/8 + 1/15*7/8
3/19 + 8/11 + 3/19*8/11
5/14 + 9/19 + 5/14*9/19
6/17 + 11/23 + 6/17*11/23

roza	30.04.2013 14:15
Predmet:Re: Elementarna algebra Hemicar treba da napravi 25%-tni rastvor kiseline. Koliko mu treba 15%-tnog rastvora, a koliko 30%-tnog da bi napravio 12 litara 25 % -tnog. Rastvora 15x+(12-x)30=2512 15x+360-30x=300 15x=60 x=4 (litra 15%-tnog) 12-4=8 Ovdje koristimo metodu razmjere. Rjesenja su u razmjeri 2:1. Kako je 30-25=5 i 25-15=10 (razmjera 2:1) Brzo rjesenje problema je 30-25 = 5 25-15 = 10 5 + 10 = 15 i koristiti 5/15 * 12 = 4 litara 15%-tnog rastvora i 10/15 * 12 = 8 litara 30%-tnog rastvora . Za koncentracije p i q i r rastvora imamo: x*p+(1-x)q=r x=1-(r-q)/(p-q) x=[p-q-(r-q)]/(p-q)=(p-q-r+q)/(p-q)=(r-q)/(p-q) 1 - x = 1 - (r - q) / (p - q) = (p- q - r + q) / (p - q) = (p - r) / (p - q) Pa je x / (1-X) = (r - q) / (p - r)

roza

30.04.2013 14:15

Predmet:Re: Elementarna algebra

Hemicar treba da napravi 25%-tni rastvor kiseline. Koliko mu treba 15%-tnog rastvora, a koliko 30%-tnog da bi napravio 12 litara 25 % -tnog. Rastvora
15x+(12-x)*30=25*12
15x+360-30x=300
15x=60
x=4 (litra 15%-tnog)
12-4=8

Ovdje koristimo metodu razmjere. Rjesenja su u razmjeri 2:1.
Kako je 30-25=5 i 25-15=10 (razmjera 2:1)

Brzo rjesenje problema je
30-25 = 5
25-15 = 10
5 + 10 = 15
i koristiti
5/15 * 12 = 4 litara 15%-tnog rastvora i
10/15 * 12 = 8 litara 30%-tnog rastvora .

Za koncentracije p i q i r rastvora imamo:
x*p+(1-x)q=r
x=1-(r-q)/(p-q)
x=[p-q-(r-q)]/(p-q)=(p-q-r+q)/(p-q)=(r-q)/(p-q)
1 - x = 1 - (r - q) / (p - q)
= (p- q - r + q) / (p - q) = (p - r) / (p - q)
Pa je
x / (1-X) = (r - q) / (p - r)