Centar za edukaciju-BiH

Predmet:Pitagorina teorema

---

Zbir povrsina kvadrata konstruisanih nad katetama jednak je povrsini kvadrata konstruisanog nad hipotenuzom



a² +b²=c²
c=( a²+b²)^1/2
a²=c²-b²
b²=c²-a²

Ako vam je ovo tesko zapamtite pjesmicu:
Kvadrat nad hipotenuzom to zna svako dijete
jednak je zbiru kvadrata nad obe katete.

---

Predmet:Re: Piatagorina teorema

---

PRIMJENA PITAGORINE TEOREME NA KVADRAT

P=a²=(d²)/2
O=4a
d=a(2)^1/2
r=a/2
R= [a(2)^1/2]/2

PRIMJENA PITAGORINE TEOREME NA PRAVOUGANIK

Pravougaonik je paralelogram sa jednakim dijagonalama i pravim unutrasnjim uglovima. Kada se povuce jedna dijagonala dobiju se dva pravougla trougla.

d² =a² + b²
O=2a+2b
P=a∙b

---

Predmet:Re: Piatagorina teorema

---

PRIMJENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOKRAKI TROUGAO

Jednakokraki trougao je trougao sa jednakim kracima. Kada se povuce visina iz tjemena C dobiju se dva pravougla trougla.

P=(ah_a)/2
P=(bh_b)/2
O=a+2b

Pitagorina teorema za trougao ACD:
b²=(a/2)²+h²

a odavde se dobija visina h_a :
h_a=[ b²-(a²)/4]^1/2

PRIMJENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOSTRANICNI TROUGAO

Jednakostranicni trougao je trougao sa jednakim stranicama uglovima.
Iz Pitagorine teoreme za trougao ACD dobija se visine trougla:

P=[a² * (3)^1/3]/3
O=3a
R=2h/3
r=h/3

---

Predmet:Re: Piatagorina teorema

---

PRIMJENA PITAGORINE TEOREME NA ROMB

O=4a
P=a∙h

Primjenom Pitagorine teoreme na trougao AOB: gdje su AO i BO
katete a AB hipotenuza dobija se
a²=(d₁/2)²+(d₂)²
Zadatak 1

Izracunaj duzinu hipotenuze pravouglog trougla cije su katete a=7cm,b=24cm.
a=7cm
b=24cm
c=?
c²= 7² +24²
c²=49+576
c²=625
c=25cm

---

Predmet:Re: Piatagorina teorema

---

PRIMJENA PITAGORINE TEOREME NA TRAPEZ
Trapez je cetvorougao sa jednim parom paralelnih stranica koje se zovu osnove i sa jednim parom ne paralelnih stranica koji se zovu kraci.

Obim jednakokrakog trapeza:
O=a+b+2c

Srednja linija trapeza:
m=(a+b)/2
P=mh
P=[(a+b)/2]*h
c²=h²+x²
x=(a-b)/2

---

Predmet:Re: Pitagorina teorema

---

Iz istorije

starogrcka civilizacija



(n²-1)²+(2n)²=n⁴-2n²+1+4n²= n⁴+2n²+1=(n²+1)²


IX vijek
Neka su data dva kvadrata kao na slici



Mozemo ga presloziti u kvadrat

---

Predmet:Re: Pitagorina teorema

---

Bhaskara (Baskara) rodjen je 1114 godine.
Nad hipotenuzom AB trougla ABC konstruisemo kvadrat ABA₁B₁.


Povucemo prave A₁B₃ i B₁B₂ tako da je A₁B₃ paralelno sa BC i B₁B₂ paralelno sa AC.
Prava AC presjeca pravu A₁B₃ u C₁.
Kvadrat nad hipotenuzom sastoji se od kvadrata CC₁B₂B₃ i 4 pdudarna trougla. Stranica kvadrata jednaka je razlici kateta a-b (a=BC i b=AC). Imamo

c²=(a-b)²-4ab/2 =a²+b²

---

Predmet:Re: Pitagorina teorema

---

Induski dokaz ili „stolica mlade“



Nad hipotenuzom pravouglog trougla konstruise se kvadrat ABDE. Iz D povuce se normala DC₁ na BC. Tako dobijemo pravougli trougao BDC₁ podudaran sa datim trouglom ABC ( imaju jednke AB=BD i ostre uglove kod B i D ulovi sa normalnim kracima).
Trougao ABC zarotirajmo za 90^o u A suprotnom smjeru rotacije kazaljke na satu oko tacke . doci ce u polozaj AEA₁.
TrougaoBDC₁ zarotirajmo za 90^o u suprotnom smjeru rotacije AD kazaljke na satu oko tacke . doci ce u polozaj EDC₃. Tacke A₁, E, C₃ su kolinearne. Produzavanjem katete BC do C₂ na A₁E dobijamo kvadrat ACC₂A_1 nad AC i kvadrat C₁C₂C₃D nad katetom DC₃=BC. Sad imamo jednakost za povrsine:
ABDE=ACC₁DC₃A₁=ACC₂A₁+C₁C₂C₃D
Tj zbir kvadrata nad katetama jednak je kvadratu nad hipotrenuzom

---

Predmet:Re: Pitagorina teorema

---

1769 godine njemacki matematicat iznio je sljedeci dokaz

---

Predmet:Re: Pitagorina teorema

---

1906 godine Epstajn (Epstein) je dao sljedeci dokaz.
Kvadrate nad katetama i hipotenuzom podijelicemo
na trougove 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, i 8 kao na slici.




Dokaz od Anerizija (Annairizi) potice iz 900 godine

---