Prikazi cijelu temu 22.09.2010-18:53
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Lokacija: Tuzla


Subject: Elementarna algebra
ELEMENTARNA ALGEBRA je osnovna algebra koju izucavaju ucenici sa malo ili nimalo formalnog znanja iz oblasti matematike izuzev aritmetike. Dok se u aritmetici javljaju samo brojevi i njihove aritmeticke operacije:
sabiranje (+)
oduzimanje (−)
mnozenje (×)
dijeljenje ( ÷)

U algebri se koriste simboli (poput x i y, ili a i b) za oznacavanje brojeva. Ovi simboli se nazivaju PROMJENLJIVE. One su korisne jer:
omogucavaju da se generalizacije aritmetickih jednacina (i nejednacina) izraze u obliku zakona (kao sto je a + b = b + a za svako a i b), a ovo je prvi korak u sistematskom izucavanju osobina realnih brojeva.
omogucavaju pozivanje na brojeve koji nisu poznati. U kontekstu problema, promjenljiva moze da predstavlja neku vrijednost koja nije poznata, ali moze biti rijesena kroz formulaciju i manipulaciju jednacinama.
omogucavaju proucavanje matematickih odnosa izmedju velicina (poput ako prodas x karata, onda ce tvoj profit iznositi 3x − 10 KM).
U elementarnoj algebri, izraz moze da sadrzi brojeve, promjenljive i aritmeticke operacije.

Primjer:
x+3
y2 +2x -3
z7+a(b+x3)+42/y* ∏
U malo naprednijoj algebri, izraz moze da sadrzi i elementarne funkcije.

JEDNACINA predstavlja tvrdnju da su dva izraza jednaka. Neke jednacine su tacne za sve vrijednosti promenljivih koje se u njima pojavljuju (na primer a + b = b + a); takve izraze nazivamo IDENTITETIMA. Uslovne jednacine su tacne samo za neke vrijednosti svojih promenljivih: x2− 1 = 4. Vrijednosti promjenljivih koje cine da jednacina bude tacna se nazivaju rjesenjima jednacine.

Zakoni elementarne algebre

Sabiranje je KOMUTATIVNA operacija (zbir dva broja je isti nezavisno od redosljeda u kojem ih zapisujemo).
Oduzimanje je operacija suprotna sabiranju.
Oduzimanje je isto sto i sabiranje negativnim brojem:
a-b=a+(-b)
Primjer:
5 + x = 3 => x = − 2.
Mnozenje je KOMUTATIVNA operacija.
Dijeljenje je operacija suprotna mnozenju.
Podijeliti jedan broj drugim je isto sto i pomnoziti ga reciprocnom vrednoscu drugog broja:
a/b=a*(1/b)

Stepenovanje nije komutativna operacija.
Zato stepenovanje ima dvije suprotne operacije:
logaritmovanje
stepenovanje reciprocnim eksponentom (na primer kvadratni korjen).
Primjeri:
(3x)*(10) => x = log3(10)
x2 = 10 => x = 101/2

Kvadratni korjen negativnih brojeva ne postoji u sistemu realnih brojeva ( postoji u skupu kompleksnih brojeva)

ASOCIJATIVNOST sabiranja i mnozenja
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc).

DISTRIBUTIVNOST mnozenja u odnosu na sabiranje:
c(a + b) = ca + cb.

DISTRIBUTIVNOST stepena u odnosu na mnozenje:
(ab)c = acbc
Kombinovanje eksponenata: abac= a(b+c)
Stepen stepena: (ab)c = abc

Zakoni jednakosti

(a = b i b = c)=> a = c TRANZITIVNOST jednakosti
a = a REFLEKSIVNOST jednakosti
Ako a = b onda b = a SIMETRIJA jednakosti

Drugi zakoni

( a = b i c = d)=> a + c = b + d.
Ako a = b onda a + c = b + c za svako c (ADICIONO svojstvo jednakosti)
(a = b i c = d)=> ac = bd
Ako a = b onda ac = bc za svako c (MULTIPLIKATIVNO svojstvo jednakosti)
Ako su dva simbola jednaka, onda se jedan moze zamijeniti drugim po zelji (princip smjene)
(a > b i b > c)=>a> c tranzitivnost nejednakosti
a > b => a + c > b + c za svako c
( a > b i c > 0)=> ac > bc
( a > b i c < 0)=> ac < bc
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj