Prikazi cijelu temu 22.09.2010-19:30
roza Offline
Super Moderator
Registrovan/a od: 06.01.2009-10:03
Lokacija: Tuzla


Subject: Re: Elementarna algebra
Linearne jednacine jedne promejnljive
Najjednostavnije jednacine su LINEARNE jednacine koje imaju samo jednu promjenljivu. One sadrze samo konstantne brojeve i jednu promjenljivu bez eksponenta.

Primjer:
2x+4=12
Oduzimanjem 4 sa obe strane zadane jednacine dobijamo
2x+4-4=12-4
sto se pojednostavljuje na:
2x=8
Deljenjem obe strane brojem 2:
2x/2 =8/2
dobijamo
x=4
Opsti slucaj,
ax=b i
ax+b=c
rjesenje je x=b/a i x=(c-b)/a

KVADRATNE jednacine mogu da se izraze u obliku
ax2+ bx + c = 0, gdje je a ≠ 0 ( kad bi bilo jednako nuli, jednacina ne bi bila kvadratna vec linearna).
Zbog ovoga, kvadratna jednacina mora da sadrzi ax2. Kako je a ≠ 0, mozemo podijeliti jednacinu sa a i da preuradimo jednacinu na standardni oblik
X2+ px=q
gdje je p = b/a а q = −c/a.
Rjesavanje ovoga, procesom dopune do kvadrata, vodi do KVADRATNE FORMULE.

Sistem linearnih jednacina

U slucaju kada imamo sistem linearnih jednacina, npr dvije jednacine sa dvije nepoznate, cesto je moguce naci rjesenja za obe promjenljive koje zadovoljavaju obe jednacine.

Primjer sistema linearnih jednaccna mogao bi da bude sljedece:

4x+2y=14
2x-y=1
Mnozenjem izraza u drugoj jednacini sa 2 dobijamo:
4x+2y=14
4x-2y=2
Sabiranjem jednacina, dobije se:
8x=16
sto se moze pojednostaviti
x=2
Kako nam je sada poznato da je x = 2, moguce je izracunati da je y = 3 iz bilo koje od dvije pocetne jednacine (umetanjem 2 umjesto x).
Kompletno rjesenje ovog sistema je
x=2 i y=3

Ovo nije jedini nacin da se rijesi ovaj sistem; mogli smo da nadjemo y prije nego sto smo nasli x.
Drugi nacin za rjesavanje istog sistema linearnih jednacina je smjenom.
4x+2y=14
2x-y=1
Ekvivalent y se moze naci koristenjem jedne od ovih jednacina. Mi cemo y naci iz druge jednacine.
2x-y=1
Oduzimanjem 2x sa obe strane jednacine:
2x-2x -y=1-2x
-y=1-2x
i mnozenjem sa -1 dobijamo:
y=2x-1
Koristenjem ove vrijednosti y u prvoj jednacini pocetnog sistema:
4x+2(2x-1)=14
4x+4x-2=14
8x-2=14
Dodavanjem 2 sa obe strane jednacine:
8x-2+2=14+2
8x=16
sto se moze pojednostaviti
x=2
Koristenjem ove vrijednosti u obe jednacine dobija se isto rjesenje kao i kod prethodnog metoda.
x=2 i y=3

Takodje, ni ovo nije jedini nacin da se rijesi ovaj sistem; i ovde smo mogli prvo da izracunamo y pa onda x.

Nerjesivi sistemi

U gornjem primjeru, moguce je naci rjesenje sistema. Medjutim, postoje i sistemi linearnih jednacina koje nemaju rjesenje.
Ocigledan primjer je:
x+y=1
Ox+0y=1
Druga jednacina u sistemu nema rjesenje, pa ni sistem ne moze biti rijesen. Medjudjutim, nije sve nezadovoljive sisteme moguce prepoznati.

Uzmimo na primjer sistem:

4x+2y=12
-2x-y=-4
Ako pokusamo da rijesimo ovaj sistem (koristenjem metode smjene koji je gore objasnjen, druga jednacina nakon dodavanja − 2x na obe strane i mnozenjem sa −1, daje:
y=-2x+4
A kada se ovo iskoristi kao vrijednost y u prvoj jednacini:
4x+2(-2x+4)=12
4x-4x+8=12
8=12
Nema preostalih promjenljivih, a jednakost nije tacna. Ovo znaci da prva jednacina ne moze da da rjesenje za vrijednost y dobijenu iz druge jednacine.

Neodredjeni sistemi

Postoje i sistemi sa visestrukim rjesenjima ili beskonacnim brojem rjesenja, za razliku od sistema sa jedinstvenim rjesenjem (gdje na primjer postoje jedinstvene vrednosti za x i y).

Na primjer:

4x+2y=12
-2x-y=-6
Ako izolujemo y u drugoj jednacini:
y=-2x+6
I iskoristimo ovu vrijednost u prvoj jednacini sistema:
4x+2(-2x+6)=12
4x-4x+12=12
12=12
Ova jednakost je tacna, ali nam ne daje vrijednost za x. Lako se moze provjeriti (upisivanjem nekih vrijednosti za x) da za svako x postoji resenje, sve dok je y = −2x + 6. Postoji beskonacan broj rjesenja ovog sistema.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj