Predmet:Re: Algebra u geometriji

---

Apolonijev problem kruznice koja dodiruje tri zadane kruznice sastoji se u konstrukciji te kruznice. Ovaj problem je poslednji od deset, gde se trazi ista konstrukcija ako su zadate

3 tacke

2 tacke i prava

tacka, prava i kruznica; itd.

Dva od tri problema je resio Euklid, a ostale Apolonije. Samo njegovo djelo o tom problemu nije sacuvano pa ne znamo tacno kako ga je rjesio. Jedino zahvaljujuci Paposu koji pominje to djelo, znamo da je ono postojalo. Tim problemom su se bavili i mnogi matematicari kao sto su Viete u XVI vijeku, Njutn u XVII vijeku. Sa pretpostavkom da su zadate tri kruznice koje leze jedna van druge, obelezene brojevima I, II, III, onda postoji 8 mogucih resenja:

I, II, III unutar trazene kruznice

I, II unutar trazene kruznice, a III izvan trazene kruznice

I, III unutar trazene kruznice, a II izvan trazene kruznice

II, III unutar trazene kruznice, a I izvan trazene kruznice

I unutar trazene kruznice, a II, III izvan trazene kruznice

II unutar trazene kruznice, a I, III izvan trazene kruznice

III unutar trazene kruznice, a I, II izvan trazene kruznice

I, II, III izvan trazene kruznice



Da bi dosli do trazene konstrukcije zadatak cemo pojednostaviti tako sto cemo traziti onu kruznicu koja prolazi kroz zadatu tacku i dodiruje dvije zadate kruznice. Ako se rijesi ovaj zadatak, onda se jednostavnom konstrukcijom (sl. 1, sl. 2) moze rijesiti problem u cjelini.

Smanjimo li najmanju od zadatih kruznica na tacku, i smanjimo tj. povecamo za njen poluprecnik r poluprecnike preostalih kruznica, dobijamo jednostavan problem. Rjesenje tog problema je kruznica, ciji se poluprecnik razlikuje od poluprecnika trazene kruznice, i to za r.

Izvodimo nekoliko pomocnih stavova:



STAV 1
Potencija tacke T s obzirom na kruznicu k jednaka je

AT * BT = CT².

To znaci da je za sve sjecice iz tacke T proizvod odsjecaka od tacke T do presjeka sjecice i kruznice konstantan i jednak kvadratu duzine tangente iz tacke T do dodira sa kruznicom.

Taj proizvod se zove potencija tacke T s obzirom na kruznicu k.

Obrnuto iz

CT² = AT * BT

dobijamo da je C tacka dodira kruznice i prave koja prolazi kroz tacke T i C.

---