Predmet:Re: Elementarna algebra

---

Sve primitivne Pitagorine trojke (x, y, z), u kojima je y paran (dakle, x i z neparni) dobijene su pomoću formula

x=kl

y=(k²-l²) /2

z=(k²-l²) /2

za k > l, i (k, l) su parovi svih neparnih relativno prostih prirodnih brojeva . Svaka primitivna trojka (x, y, z) gdje je y paran je na ovaj način dobijena samo jednom.

Dokaz.

Jednačinu

x²+y²=z²

transformišemo u oblik

x² = (z + y)(z-y)

Definišimo brojeve u = z + y i v = z-y, uz pretpostavku teoreme z je neparan, a y paran. Tada su u i v neparni. Kako su y i z relativno prosti, a z je neparan, u i v su relativno prosti.

Iz jednačine

x² = (z + y)(z-y)=> x^{[/sup]2 = uv, postoje relativno prosti (neparni) prirodni brojevi k, l takvi da je u = k[sup]2}, v = l^2. Tako dobijamo tražene jednačine
x=kl

y=(k²-l²) /2

z=(k²-l²) /2

Jedan od mogućih pravilnih redosljeda dobijanja svih primitivnih Pitagorinih trojki pomoću tih formula dobijemo rednim uzimanjem neparnih brojeva 3, 5, 7, 9 . . . za k, i za svaki od njih sve neparne brojeve za l, koji su manji od k i relativno prosti s njim.
Kategorije:

---