Prikazi cijelu temu
12.03.2011 19:57
12.03.2011 19:57
Predmet:Re: Algebra u geometriji
JEDNACINE III STEPENA
OMAR AL-HAJAM.
‘Omar al-Khayyam (oko 1040-1123) je Persijanac ciji se veliki rezultati u matematici prije svega odnose na izucavanje kvadratnih jednacina, konusnih presjeka i korjena kubnih jednacina. Njegov postupak rjesavanja kubnih jednacina moze se koristiti za nalazenje svih realnih korjena jednacina III stepena, a opisan je u djelu Al-Jabr nj’al-Muljabalah. Pored njegove svestranosti u matematici, al-Hajam je sire poznat na Zapadu po zbirci svoje filozofske poezije Rubaiyat.
Uspjesno je rjesavao kvadratne jednacine geometrijskim metodom - dopunom kvadrata, u cemu mnogo podsjeca na al-Horezmija. Klasifikacija sadrzi sest kanonskih tipova jednacina drugog stepena, a u nekim konstrukcijama al-Hajam se poziva direktno na Euklida. Naravno da i al-Hajam izbegava direktno da pominje upotrebu negativnih korjena kvadratnih jednacina, ali tu moramo imati na umu sljedece cinjenice : neka je -r (r > 0) negativan korjen jednacine
x2+bx=c.
Imamo
(-r)2+b(-r)=c
r2=br+c tj r>0 p
ozitivan korijen jednacine x2+bx=c.
Apsolutna vrijednost negativnog korjena prve jednacine je pozitivan korijen druge jednacine i obratno.
PARABOLA I KUBNI KORJEN.
Kada se suocimo sa jednacinama treceg stepena, nastaju mnogo veci problemi nego sto je to slucaj sa kvadratnim jednacinama. Jasno je da nikakvim dopunama do kvadrata ne mozemo naci korjene kubnih jednacina, pa je zato neophodno da pribjegnemo drugacijim rjesenjima.
Izlaz za ovaj problem nude nam konusni presjeci kao sto su parabola i (pravougaona) hiperbola.
Kao dovoljno ilustrativan primejr konstrukcije konusnog presjeka, konstruisacemo parabolu, a zatim kubni korjen.
Konstrukcija kubnog korjena zasniva se na osobini koju su uocili jos grcki matematicari:
mozemo smatrati jednacinama dvije parabole cije su ose normalne, a tjeme im je u istoj tacki. Na ove cinjenice treba dobro obratiti paznju da bi bila jasna konstrukcija kubnog korjena.
Al-Hajam je prihvatio grcki postupak konstruisanja parabole. Naime, ako je AB duz, tada je parabola sa tjemenom B i parametrom AB takva kriva p za koju, ukoliko tacka C pripada krivoj p, za pravougaonik CDBE vazi:
BE2=AB*BD
Kako su Dekartove koordinate tacke C zaista (BE,BD), ova je jednakost vrlo bliska kanonskoj jednacini parabole: y2=2px
Konstrukciju parabole, koristimo za konstrukciju kubnog korjena, a za konstrukciju tacaka parabole konstrukciju kvadratnog korjena.
JEDNACINE III STEPENA
OMAR AL-HAJAM.
‘Omar al-Khayyam (oko 1040-1123) je Persijanac ciji se veliki rezultati u matematici prije svega odnose na izucavanje kvadratnih jednacina, konusnih presjeka i korjena kubnih jednacina. Njegov postupak rjesavanja kubnih jednacina moze se koristiti za nalazenje svih realnih korjena jednacina III stepena, a opisan je u djelu Al-Jabr nj’al-Muljabalah. Pored njegove svestranosti u matematici, al-Hajam je sire poznat na Zapadu po zbirci svoje filozofske poezije Rubaiyat.
Uspjesno je rjesavao kvadratne jednacine geometrijskim metodom - dopunom kvadrata, u cemu mnogo podsjeca na al-Horezmija. Klasifikacija sadrzi sest kanonskih tipova jednacina drugog stepena, a u nekim konstrukcijama al-Hajam se poziva direktno na Euklida. Naravno da i al-Hajam izbegava direktno da pominje upotrebu negativnih korjena kvadratnih jednacina, ali tu moramo imati na umu sljedece cinjenice : neka je -r (r > 0) negativan korjen jednacine
x2+bx=c.
Imamo
(-r)2+b(-r)=c
r2=br+c tj r>0 p
ozitivan korijen jednacine x2+bx=c.
Apsolutna vrijednost negativnog korjena prve jednacine je pozitivan korijen druge jednacine i obratno.
PARABOLA I KUBNI KORJEN.
Kada se suocimo sa jednacinama treceg stepena, nastaju mnogo veci problemi nego sto je to slucaj sa kvadratnim jednacinama. Jasno je da nikakvim dopunama do kvadrata ne mozemo naci korjene kubnih jednacina, pa je zato neophodno da pribjegnemo drugacijim rjesenjima.
Izlaz za ovaj problem nude nam konusni presjeci kao sto su parabola i (pravougaona) hiperbola.
Kao dovoljno ilustrativan primejr konstrukcije konusnog presjeka, konstruisacemo parabolu, a zatim kubni korjen.
Konstrukcija kubnog korjena zasniva se na osobini koju su uocili jos grcki matematicari:
mozemo smatrati jednacinama dvije parabole cije su ose normalne, a tjeme im je u istoj tacki. Na ove cinjenice treba dobro obratiti paznju da bi bila jasna konstrukcija kubnog korjena.
Al-Hajam je prihvatio grcki postupak konstruisanja parabole. Naime, ako je AB duz, tada je parabola sa tjemenom B i parametrom AB takva kriva p za koju, ukoliko tacka C pripada krivoj p, za pravougaonik CDBE vazi:
BE2=AB*BD
Kako su Dekartove koordinate tacke C zaista (BE,BD), ova je jednakost vrlo bliska kanonskoj jednacini parabole: y2=2px
Konstrukciju parabole, koristimo za konstrukciju kubnog korjena, a za konstrukciju tacaka parabole konstrukciju kvadratnog korjena.
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj