Prikazi cijelu temu
12.03.2011 20:05
12.03.2011 20:05
Predmet:Re: Algebra u geometriji
Kubnu jednacinu sveli smo na na oblik u kome se ne pojavljuje kvadrat, vec samo kub , linearni i slobodni clan. Ovim se bitno smanjuje broj kombinacija za tipove sa svim pozitivnim koeficijentima, pa umjesto cetrnaest, sada imamo samo cetiri tipa koja nisu prethodno rjesena:
Ovakvo svodjenje al-Hajam nije mogao da izvede zbog nepostojanja prikladne matematicke simbolike, ali nama je ovom prilikom korisno da skratimo postupak u cilju izbjegavanja mogucnosti da nam zbog velikog broja tipova kubnih jednacina izmaknu najvaznije al-Hajamove ideje i metodi.
Pokazuje se da je za nalazenje svih korjena svih kubnih jednacina potrebno pronaci postupak za resavanje tipova 1 - 3, sto je dovoljno da bi se resio i navedeni tip 4. Pre nego sto razmotrimo resenje prvog od ovih tipova, pomenimo samo da je al-Hajam gajio nadu da ce buduce genaracije matematicara mozda biti u stanju da resavaju jednacine stepena vecih od tri.
KARDANOVI OBRASCI
Poslije pregleda najvaznijih dostignuca u arapskoj algebarskoj skoli, moze izgledati da se sada udaljujemo od teme. Medjutim, rezultati italijanskog matematicara Djirolama Kardana (Girolamo Cardano, XVI vek) jasno se nastavljaju na al-Hajamove metode rjesavanja kubnih jednacina i pokazuju kako je u arapskoj matematici indirektno utemeljena teorija kompleksnih brojeva.
Mada se vecina istorijskih izvora slaze da al-Hajam nije otkrio negativne korjene kubnih jednacina (sto se pripisuje Kardanu), ti izvori zanemaruju cinjenicu da su njegovi postupci sasvim dovoljni za nalazenje tih korjena. Kardanovi algebarski obrasci objavljeni su u djelu Artis Magnae 1545. godine i smatraju se prvim opstim rjesenjem kubnih jednacina.
e iznenadjuje to sto je Kardano koristio samo pozitivne koeficijente i sto njegova klasifikacija kubnih jednacina obuhvata trinaest tipova kao kod al-Hajama, izuzimajuci jednacine svodljive na kvadratne, kao i onu x3=c
Za svaki tip posebno Kardano je izveo geometrijske dokaze. Razjasnili smo kako se dolazi do jednacine x^3+ax+b=0, pri cemu cemo sada dopustiti da a i b budu negativni ili pozitivni. Kardanova smjenaje oblika
Kubnu jednacinu sveli smo na na oblik u kome se ne pojavljuje kvadrat, vec samo kub , linearni i slobodni clan. Ovim se bitno smanjuje broj kombinacija za tipove sa svim pozitivnim koeficijentima, pa umjesto cetrnaest, sada imamo samo cetiri tipa koja nisu prethodno rjesena:
Ovakvo svodjenje al-Hajam nije mogao da izvede zbog nepostojanja prikladne matematicke simbolike, ali nama je ovom prilikom korisno da skratimo postupak u cilju izbjegavanja mogucnosti da nam zbog velikog broja tipova kubnih jednacina izmaknu najvaznije al-Hajamove ideje i metodi.
Pokazuje se da je za nalazenje svih korjena svih kubnih jednacina potrebno pronaci postupak za resavanje tipova 1 - 3, sto je dovoljno da bi se resio i navedeni tip 4. Pre nego sto razmotrimo resenje prvog od ovih tipova, pomenimo samo da je al-Hajam gajio nadu da ce buduce genaracije matematicara mozda biti u stanju da resavaju jednacine stepena vecih od tri.
KARDANOVI OBRASCI
Poslije pregleda najvaznijih dostignuca u arapskoj algebarskoj skoli, moze izgledati da se sada udaljujemo od teme. Medjutim, rezultati italijanskog matematicara Djirolama Kardana (Girolamo Cardano, XVI vek) jasno se nastavljaju na al-Hajamove metode rjesavanja kubnih jednacina i pokazuju kako je u arapskoj matematici indirektno utemeljena teorija kompleksnih brojeva.
Mada se vecina istorijskih izvora slaze da al-Hajam nije otkrio negativne korjene kubnih jednacina (sto se pripisuje Kardanu), ti izvori zanemaruju cinjenicu da su njegovi postupci sasvim dovoljni za nalazenje tih korjena. Kardanovi algebarski obrasci objavljeni su u djelu Artis Magnae 1545. godine i smatraju se prvim opstim rjesenjem kubnih jednacina.
e iznenadjuje to sto je Kardano koristio samo pozitivne koeficijente i sto njegova klasifikacija kubnih jednacina obuhvata trinaest tipova kao kod al-Hajama, izuzimajuci jednacine svodljive na kvadratne, kao i onu x3=c
Za svaki tip posebno Kardano je izveo geometrijske dokaze. Razjasnili smo kako se dolazi do jednacine x^3+ax+b=0, pri cemu cemo sada dopustiti da a i b budu negativni ili pozitivni. Kardanova smjenaje oblika
"Ne treba se stidjeti nikakvog posla, pa čak ni onog najprljavijeg; treba se stidjeti samo besposlenog života." - Tolstoj