iCentar » Nauka » Matematika » Teorija skupova

roza	19.09.2010 09:58
Predmet:Re: Skupovi Definicija Kažemo da je skup A konacan ako postoji k iz N tako da je skup A ekvipotentan sa skupom N_k. Napomena Iz navedene teorema slijedi da za svaki konacan skup A postoji jedinstveni k iz N takav da vrijedi A ekvipotentno N_k. To nam omogucava da za svaki konacan skup A definisemo broj elemenata, u oznaci k(A), stavljajuci k(A)=n, pri cemu vrijedi A ekvipotemtno N_n. Teorema Za svaki A pravi podskup N_m postoji prirodan broj k takav da vrijedi k≤ m i k(A)=k. Dokaz. Indukcijom po m. Ako je m = 0 ili m = 1 tvrdnja ocito vrijedi. Neka je m iz N takav da za svaki podskup B od N_m postoji k≤m takav da je k(B) = k. Neka je A proizvoljan podskup od Nsub](m+1)[/sub]. Ako je A podskup Nsub]m[/sub] tvrdnja slijedi iz pretpostavke indukcije. Posmatrajmo slucaj kada je m+1 iz A. Tada je A \ {m + 1} podskup Nsub]m[/sub]. Iz pretpostavke indukcije slijedi da postoji k iz N takav da je k(A\{m + 1}) k. Tada je ocito k(A) = k + 1. Korolar Svaki podskup konacnog skupa je konacan. Teorema Skup X je konacan ako i samo ako postoji k iz N i sirjekcija f : N_k →X. Dokaz Pretpostavimo prvo da je skup X konacan. Tada iz definicije slijedi da postoji k iz N i bijekcija f : A → N_k. Tada je f^-1 jedna tražena surjekcija. Pretpostavimo sada da postoji k iz N i surjekcija f : N_k→X. Tada ocitoza svaki x iz X imamo f^-1[{x}] razlicito od 0;. Za svaki x iz X odaberimo po jedan a_x iz f^-1 [{x}]. Oznacimo A = {a_x : x iz X}. Ocito je A podskup N_k, te je funkcija g : A → X, koja je definisana sa g(a_x) = x, bijekcija. Tada je k(A) = k(X). Iz A podskup N_k i i ranije dokazanog slijedi da postoji m ≤ k takav da je k(A) = m. Tada je k(X) = m, te je skup X konacan

roza

19.09.2010 09:58

Predmet:Re: Skupovi

Definicija

Kažemo da je skup A konacan ako postoji k iz N tako da je skup A
ekvipotentan sa skupom N_k.

Napomena

Iz navedene teorema slijedi da za svaki konacan skup A postoji jedinstveni
k iz N takav da vrijedi A ekvipotentno N_k. To nam omogucava da za svaki konacan skup A definisemo broj elemenata, u oznaci k(A), stavljajuci
k(A)=n, pri cemu vrijedi A ekvipotemtno N_n.

Teorema
Za svaki A pravi podskup N_m postoji prirodan broj k takav da vrijedi k≤ m i k(A)=k.

Dokaz.

Indukcijom po m.
Ako je m = 0 ili m = 1 tvrdnja ocito vrijedi.
Neka je m iz N takav da za svaki podskup B od N_m postoji k≤m takav da je k(B) = k.
Neka je A proizvoljan podskup od Nsub](m+1)[/sub]. Ako je A podskup Nsub]m[/sub] tvrdnja slijedi iz pretpostavke indukcije.
Posmatrajmo slucaj kada je m+1 iz A.
Tada je A \ {m + 1} podskup Nsub]m[/sub]. Iz pretpostavke indukcije slijedi da postoji k iz N takav da je k(A\{m + 1}) k. Tada je ocito k(A) = k + 1.

Korolar

Svaki podskup konacnog skupa je konacan.

Teorema

Skup X je konacan ako i samo ako postoji k iz N i sirjekcija f : N_k →X.

Dokaz

Pretpostavimo prvo da je skup X konacan. Tada iz definicije slijedi da
postoji k iz N i bijekcija f : A → N_k. Tada je f^-1 jedna tražena surjekcija.
Pretpostavimo sada da postoji k iz N i surjekcija f : N_k→X.
Tada ocitoza svaki x iz X imamo f^-1[{x}] razlicito od 0;.
Za svaki x iz X odaberimo po jedan a_x iz f^-1 [{x}].
Oznacimo A = {a_x : x iz X}.
Ocito je A podskup N_k, te je funkcija g : A → X, koja je definisana sa g(a_x) = x, bijekcija.

Tada je k(A) = k(X).
Iz A podskup N_k i i ranije dokazanog slijedi da postoji m ≤ k takav da je k(A) = m. Tada je k(X) = m, te je skup X konacan

roza	02.10.2010 09:46
Predmet:Re: Skupovi Dva skupa su EKVIPOTENTNA imaju istu KARDINALNOST ako postoji bijekcija iz jednoga skupa u drugi skup. Relacija ekvipotencije je relacija ekvivalencije, pa se skupovi svrstavaju u disjunktne klase - klasa kojoj pripada skup S zove se KARDINALNI broj skupa S i ozncava se sa k(S) Ako je svaki clan skupa A takodjer clan skupa B, tada se za A kaze da je PODSKUP od B, pise se moze se pisati i Ako skupvi A i B nisu jednaki onda je A pravi podskup od B Oznake skupva P skup prostih brojeva N skup prirodnih brojeva Z skup cijelih brojeva R skup reslnih brojeva Q skup racionalnih brojeva.. C skup kompleksnih brojeva

roza

02.10.2010 09:46

Predmet:Re: Skupovi

Dva skupa su EKVIPOTENTNA imaju istu KARDINALNOST ako postoji bijekcija iz jednoga skupa u drugi skup. Relacija ekvipotencije je relacija ekvivalencije, pa se skupovi svrstavaju u disjunktne klase - klasa kojoj pripada skup S zove se KARDINALNI broj skupa S i ozncava se sa k(S)

Ako je svaki clan skupa A takodjer clan skupa B, tada se za A kaze da je PODSKUP od B, pise se

moze se pisati i

Ako skupvi A i B nisu jednaki onda je A pravi podskup od B

Oznake skupva
P skup prostih brojeva
N skup prirodnih brojeva
Z skup cijelih brojeva
R skup reslnih brojeva
Q skup racionalnih brojeva..
C skup kompleksnih brojeva

roza	02.10.2010 09:59
Predmet:Re: Skupovi Skupovi se mogu sabirati. UNIJA skupova A i B je skup svih elemenata skupa A i skupa B. A U B = B U A A U A = A A U ø =A Skup koji nema ni jednog elementa zove se PRAZAN SKUP. primjer Skup svih realnih rjesenja jednacine x²=-1 je prazan skup. Jednacina x²=-1 nema rjesenja u skupu R Skup zajednickih tacaka paralelnih pravi je prazan skup. Skup svih ljudi visokih 4 m je prazan skup. Prazan skup oznacavamo sa ø. PRESJEK( zajednicki dio 2 skupa) je skup koji cine svi elementi koji su u skupu A i u skupu B. Oznacavamo ga sa A∩B ( citamo A presjek B). A∩B ={x \ x iz A i x iz B} Ako skupovi A i B nemaju zajednickih elemenata onda je presjek prazan skup. Primjer A={ 1, 2, 3} B={0, 3} A∩B ={3} Za B={0, 4} : A∩B bi bio prazan skup. U tom slucaju skupovi A i B nemaju zajednickih elemenata. Za dva skupa kazemo da su DISJUNKTNI ako nemaju zajednickih elemenata. njihov presjek je prazan skup. primjer su paralelni pravci (Euklidova geometrija) Skupovi se mogu oduzimati. KOMPLEMENT slupa A u odnosu na skup B (jos se koristi i naziv razlika skupova AiB) oznacavamo sa B − A, (ili B \ A), je skup svih elemenata koji su clanovi skupa B, ali nisu clanovi skupa A. Potrebno je uociti da je valjana operacija "oduzimanja" clanova koji nisu u skupu, po poput micanja elementa zelena iz skupa {1,2,3} - takva operacija nema smisla. {1,2}-{zelena}={1,2} Ako oduzmemo skup A od samog sebe dobicemo prazan skup. U odredjenim postavkama, svi skupovi koji se posmatraju, smatraju se podskupovima nekog datog univerzalnog skupa U. U takvim slucajevima, U − A zove se apsolutni komplement ili jednostavno komplement skupa A, i oznacava s A′, A^C . Primjeri: * {1, 2} − {crvena, bijela} = {1, 2} * {1, 2, zelena} − {crvena, bijela, zelena} = {1, 2} * {1, 2} − {1, 2} = ø * Ako je U skup svih cijelih brojeva, P skup parnih brojeva, a N skup svih neparnih brojeva, tada komplement skupa P u U iznosi N, ili ekvivalentno, P′ = N.

roza

02.10.2010 09:59

Predmet:Re: Skupovi

Skupovi se mogu sabirati. UNIJA skupova A i B je skup svih elemenata skupa A i skupa B.

A U B = B U A
A U A = A
A U ø =A

Skup koji nema ni jednog elementa zove se PRAZAN SKUP.

primjer
Skup svih realnih rjesenja jednacine x²=-1 je prazan skup. Jednacina x²=-1 nema rjesenja u skupu R
Skup zajednickih tacaka paralelnih pravi je prazan skup.
Skup svih ljudi visokih 4 m je prazan skup.

Prazan skup oznacavamo sa ø.

PRESJEK( zajednicki dio 2 skupa) je skup koji cine svi elementi koji su u skupu A i u skupu B. Oznacavamo ga sa A∩B ( citamo A presjek B).
A∩B ={x \ x iz A i x iz B}
Ako skupovi A i B nemaju zajednickih elemenata onda je presjek prazan skup.

Primjer
A={ 1, 2, 3}
B={0, 3}
A∩B ={3}
Za B={0, 4} : A∩B bi bio prazan skup. U tom slucaju skupovi A i B nemaju zajednickih elemenata.
Za dva skupa kazemo da su DISJUNKTNI ako nemaju zajednickih elemenata. njihov presjek je prazan skup. primjer su paralelni pravci (Euklidova geometrija)

Skupovi se mogu oduzimati. KOMPLEMENT slupa A u odnosu na skup B (jos se koristi i naziv razlika skupova AiB) oznacavamo sa B − A, (ili B \ A), je skup svih elemenata koji su clanovi skupa B, ali nisu clanovi skupa A.
Potrebno je uociti da je valjana operacija "oduzimanja" clanova koji nisu u skupu, po poput micanja elementa zelena iz skupa {1,2,3} - takva operacija nema smisla.

{1,2}-{zelena}={1,2}

Ako oduzmemo skup A od samog sebe dobicemo prazan skup.

U odredjenim postavkama, svi skupovi koji se posmatraju, smatraju se podskupovima nekog datog univerzalnog skupa U. U takvim slucajevima, U − A zove se apsolutni komplement ili jednostavno komplement skupa A, i oznacava s A′, A^C .

Primjeri:

* {1, 2} − {crvena, bijela} = {1, 2}
* {1, 2, zelena} − {crvena, bijela, zelena} = {1, 2}
* {1, 2} − {1, 2} = ø
* Ako je U skup svih cijelih brojeva, P skup parnih brojeva, a N skup svih neparnih brojeva, tada komplement skupa P u U iznosi N, ili ekvivalentno, P′ = N.