iCentar » Nauka » Matematika » Algebra

roza	22.09.2010-18:53
Subject: Elementarna algebra ELEMENTARNA ALGEBRA je osnovna algebra koju izucavaju ucenici sa malo ili nimalo formalnog znanja iz oblasti matematike izuzev aritmetike. Dok se u aritmetici javljaju samo brojevi i njihove aritmeticke operacije: sabiranje (+) oduzimanje (−) mnozenje (×) dijeljenje ( ÷) U algebri se koriste simboli (poput x i y, ili a i b) za oznacavanje brojeva. Ovi simboli se nazivaju PROMJENLJIVE. One su korisne jer: omogucavaju da se generalizacije aritmetickih jednacina (i nejednacina) izraze u obliku zakona (kao sto je a + b = b + a za svako a i b), a ovo je prvi korak u sistematskom izucavanju osobina realnih brojeva. omogucavaju pozivanje na brojeve koji nisu poznati. U kontekstu problema, promjenljiva moze da predstavlja neku vrijednost koja nije poznata, ali moze biti rijesena kroz formulaciju i manipulaciju jednacinama. omogucavaju proucavanje matematickih odnosa izmedju velicina (poput ako prodas x karata, onda ce tvoj profit iznositi 3x − 10 KM). U elementarnoj algebri, izraz moze da sadrzi brojeve, promjenljive i aritmeticke operacije. Primjer: x+3 y² +2x -3 z⁷+a(b+x³)+42/y* ∏ U malo naprednijoj algebri, izraz moze da sadrzi i elementarne funkcije. JEDNACINA predstavlja tvrdnju da su dva izraza jednaka. Neke jednacine su tacne za sve vrijednosti promenljivih koje se u njima pojavljuju (na primer a + b = b + a); takve izraze nazivamo IDENTITETIMA. Uslovne jednacine su tacne samo za neke vrijednosti svojih promenljivih: x²− 1 = 4. Vrijednosti promjenljivih koje cine da jednacina bude tacna se nazivaju rjesenjima jednacine. Zakoni elementarne algebre Sabiranje je KOMUTATIVNA operacija (zbir dva broja je isti nezavisno od redosljeda u kojem ih zapisujemo). Oduzimanje je operacija suprotna sabiranju. Oduzimanje je isto sto i sabiranje negativnim brojem: a-b=a+(-b) Primjer: 5 + x = 3 => x = − 2. Mnozenje je KOMUTATIVNA operacija. Dijeljenje je operacija suprotna mnozenju. Podijeliti jedan broj drugim je isto sto i pomnoziti ga reciprocnom vrednoscu drugog broja: a/b=a(1/b) Stepenovanje nije komutativna operacija. Zato stepenovanje ima dvije suprotne operacije: logaritmovanje stepenovanje reciprocnim eksponentom (na primer kvadratni korjen). Primjeri: (3^x)(10) => x = log₃(10) x² = 10 => x = 10^1/2 Kvadratni korjen negativnih brojeva ne postoji u sistemu realnih brojeva ( postoji u skupu kompleksnih brojeva) ASOCIJATIVNOST sabiranja i mnozenja (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc). DISTRIBUTIVNOST mnozenja u odnosu na sabiranje: c(a + b) = ca + cb. DISTRIBUTIVNOST stepena u odnosu na mnozenje: (ab)^c = a^cb^c Kombinovanje eksponenata: a^ba^c= a^(b+c) Stepen stepena: (a^b)^c = a^bc Zakoni jednakosti (a = b i b = c)=> a = c TRANZITIVNOST jednakosti a = a REFLEKSIVNOST jednakosti Ako a = b onda b = a SIMETRIJA jednakosti Drugi zakoni ( a = b i c = d)=> a + c = b + d. Ako a = b onda a + c = b + c za svako c (ADICIONO svojstvo jednakosti) (a = b i c = d)=> ac = bd Ako a = b onda ac = bc za svako c (MULTIPLIKATIVNO svojstvo jednakosti) Ako su dva simbola jednaka, onda se jedan moze zamijeniti drugim po zelji (princip smjene) (a > b i b > c)=>a> c tranzitivnost nejednakosti a > b => a + c > b + c za svako c ( a > b i c > 0)=> ac > bc ( a > b i c < 0)=> ac < bc

roza

22.09.2010-18:53

Subject: Elementarna algebra

ELEMENTARNA ALGEBRA je osnovna algebra koju izucavaju ucenici sa malo ili nimalo formalnog znanja iz oblasti matematike izuzev aritmetike. Dok se u aritmetici javljaju samo brojevi i njihove aritmeticke operacije:
sabiranje (+)
oduzimanje (−)
mnozenje (×)
dijeljenje ( ÷)

U algebri se koriste simboli (poput x i y, ili a i b) za oznacavanje brojeva. Ovi simboli se nazivaju PROMJENLJIVE. One su korisne jer:
omogucavaju da se generalizacije aritmetickih jednacina (i nejednacina) izraze u obliku zakona (kao sto je a + b = b + a za svako a i b), a ovo je prvi korak u sistematskom izucavanju osobina realnih brojeva.
omogucavaju pozivanje na brojeve koji nisu poznati. U kontekstu problema, promjenljiva moze da predstavlja neku vrijednost koja nije poznata, ali moze biti rijesena kroz formulaciju i manipulaciju jednacinama.
omogucavaju proucavanje matematickih odnosa izmedju velicina (poput ako prodas x karata, onda ce tvoj profit iznositi 3x − 10 KM).
U elementarnoj algebri, izraz moze da sadrzi brojeve, promjenljive i aritmeticke operacije.

Primjer:
x+3
y² +2x -3
z⁷+a(b+x³)+42/y* ∏
U malo naprednijoj algebri, izraz moze da sadrzi i elementarne funkcije.

JEDNACINA predstavlja tvrdnju da su dva izraza jednaka. Neke jednacine su tacne za sve vrijednosti promenljivih koje se u njima pojavljuju (na primer a + b = b + a); takve izraze nazivamo IDENTITETIMA. Uslovne jednacine su tacne samo za neke vrijednosti svojih promenljivih: x²− 1 = 4. Vrijednosti promjenljivih koje cine da jednacina bude tacna se nazivaju rjesenjima jednacine.

Zakoni elementarne algebre

Sabiranje je KOMUTATIVNA operacija (zbir dva broja je isti nezavisno od redosljeda u kojem ih zapisujemo).
Oduzimanje je operacija suprotna sabiranju.
Oduzimanje je isto sto i sabiranje negativnim brojem:
a-b=a+(-b)
Primjer:
5 + x = 3 => x = − 2.
Mnozenje je KOMUTATIVNA operacija.
Dijeljenje je operacija suprotna mnozenju.
Podijeliti jedan broj drugim je isto sto i pomnoziti ga reciprocnom vrednoscu drugog broja:
a/b=a*(1/b)

Stepenovanje nije komutativna operacija.
Zato stepenovanje ima dvije suprotne operacije:
logaritmovanje
stepenovanje reciprocnim eksponentom (na primer kvadratni korjen).
Primjeri:
(3^x)*(10) => x = log₃(10)
x² = 10 => x = 10^1/2

Kvadratni korjen negativnih brojeva ne postoji u sistemu realnih brojeva ( postoji u skupu kompleksnih brojeva)

ASOCIJATIVNOST sabiranja i mnozenja
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc).

DISTRIBUTIVNOST mnozenja u odnosu na sabiranje:
c(a + b) = ca + cb.

DISTRIBUTIVNOST stepena u odnosu na mnozenje:
(ab)^c = a^cb^c
Kombinovanje eksponenata: a^ba^c= a^(b+c)
Stepen stepena: (a^b)^c = a^bc

Zakoni jednakosti

(a = b i b = c)=> a = c TRANZITIVNOST jednakosti
a = a REFLEKSIVNOST jednakosti
Ako a = b onda b = a SIMETRIJA jednakosti

Drugi zakoni

( a = b i c = d)=> a + c = b + d.
Ako a = b onda a + c = b + c za svako c (ADICIONO svojstvo jednakosti)
(a = b i c = d)=> ac = bd
Ako a = b onda ac = bc za svako c (MULTIPLIKATIVNO svojstvo jednakosti)
Ako su dva simbola jednaka, onda se jedan moze zamijeniti drugim po zelji (princip smjene)
(a > b i b > c)=>a> c tranzitivnost nejednakosti
a > b => a + c > b + c za svako c
( a > b i c > 0)=> ac > bc
( a > b i c < 0)=> ac < bc

roza	22.09.2010-19:30
Subject: Re: Elementarna algebra Linearne jednacine jedne promejnljive Najjednostavnije jednacine su LINEARNE jednacine koje imaju samo jednu promjenljivu. One sadrze samo konstantne brojeve i jednu promjenljivu bez eksponenta. Primjer: 2x+4=12 Oduzimanjem 4 sa obe strane zadane jednacine dobijamo 2x+4-4=12-4 sto se pojednostavljuje na: 2x=8 Deljenjem obe strane brojem 2: 2x/2 =8/2 dobijamo x=4 Opsti slucaj, ax=b i ax+b=c rjesenje je x=b/a i x=(c-b)/a KVADRATNE jednacine mogu da se izraze u obliku ax²+ bx + c = 0, gdje je a ≠ 0 ( kad bi bilo jednako nuli, jednacina ne bi bila kvadratna vec linearna). Zbog ovoga, kvadratna jednacina mora da sadrzi ax². Kako je a ≠ 0, mozemo podijeliti jednacinu sa a i da preuradimo jednacinu na standardni oblik X²+ px=q gdje je p = b/a а q = −c/a. Rjesavanje ovoga, procesom dopune do kvadrata, vodi do KVADRATNE FORMULE. Sistem linearnih jednacina U slucaju kada imamo sistem linearnih jednacina, npr dvije jednacine sa dvije nepoznate, cesto je moguce naci rjesenja za obe promjenljive koje zadovoljavaju obe jednacine. Primjer sistema linearnih jednaccna mogao bi da bude sljedece: 4x+2y=14 2x-y=1 Mnozenjem izraza u drugoj jednacini sa 2 dobijamo: 4x+2y=14 4x-2y=2 Sabiranjem jednacina, dobije se: 8x=16 sto se moze pojednostaviti x=2 Kako nam je sada poznato da je x = 2, moguce je izracunati da je y = 3 iz bilo koje od dvije pocetne jednacine (umetanjem 2 umjesto x). Kompletno rjesenje ovog sistema je x=2 i y=3 Ovo nije jedini nacin da se rijesi ovaj sistem; mogli smo da nadjemo y prije nego sto smo nasli x. Drugi nacin za rjesavanje istog sistema linearnih jednacina je smjenom. 4x+2y=14 2x-y=1 Ekvivalent y se moze naci koristenjem jedne od ovih jednacina. Mi cemo y naci iz druge jednacine. 2x-y=1 Oduzimanjem 2x sa obe strane jednacine: 2x-2x -y=1-2x -y=1-2x i mnozenjem sa -1 dobijamo: y=2x-1 Koristenjem ove vrijednosti y u prvoj jednacini pocetnog sistema: 4x+2(2x-1)=14 4x+4x-2=14 8x-2=14 Dodavanjem 2 sa obe strane jednacine: 8x-2+2=14+2 8x=16 sto se moze pojednostaviti x=2 Koristenjem ove vrijednosti u obe jednacine dobija se isto rjesenje kao i kod prethodnog metoda. x=2 i y=3 Takodje, ni ovo nije jedini nacin da se rijesi ovaj sistem; i ovde smo mogli prvo da izracunamo y pa onda x. Nerjesivi sistemi U gornjem primjeru, moguce je naci rjesenje sistema. Medjutim, postoje i sistemi linearnih jednacina koje nemaju rjesenje. Ocigledan primjer je: x+y=1 Ox+0y=1 Druga jednacina u sistemu nema rjesenje, pa ni sistem ne moze biti rijesen. Medjudjutim, nije sve nezadovoljive sisteme moguce prepoznati. Uzmimo na primjer sistem: 4x+2y=12 -2x-y=-4 Ako pokusamo da rijesimo ovaj sistem (koristenjem metode smjene koji je gore objasnjen, druga jednacina nakon dodavanja − 2x na obe strane i mnozenjem sa −1, daje: y=-2x+4 A kada se ovo iskoristi kao vrijednost y u prvoj jednacini: 4x+2(-2x+4)=12 4x-4x+8=12 8=12 Nema preostalih promjenljivih, a jednakost nije tacna. Ovo znaci da prva jednacina ne moze da da rjesenje za vrijednost y dobijenu iz druge jednacine. Neodredjeni sistemi Postoje i sistemi sa visestrukim rjesenjima ili beskonacnim brojem rjesenja, za razliku od sistema sa jedinstvenim rjesenjem (gdje na primjer postoje jedinstvene vrednosti za x i y). Na primjer: 4x+2y=12 -2x-y=-6 Ako izolujemo y u drugoj jednacini: y=-2x+6 I iskoristimo ovu vrijednost u prvoj jednacini sistema: 4x+2(-2x+6)=12 4x-4x+12=12 12=12 Ova jednakost je tacna, ali nam ne daje vrijednost za x. Lako se moze provjeriti (upisivanjem nekih vrijednosti za x) da za svako x postoji resenje, sve dok je y = −2x + 6. Postoji beskonacan broj rjesenja ovog sistema.

roza

22.09.2010-19:30

Subject: Re: Elementarna algebra

Linearne jednacine jedne promejnljive
Najjednostavnije jednacine su LINEARNE jednacine koje imaju samo jednu promjenljivu. One sadrze samo konstantne brojeve i jednu promjenljivu bez eksponenta.

Primjer:
2x+4=12
Oduzimanjem 4 sa obe strane zadane jednacine dobijamo
2x+4-4=12-4
sto se pojednostavljuje na:
2x=8
Deljenjem obe strane brojem 2:
2x/2 =8/2
dobijamo
x=4
Opsti slucaj,
ax=b i
ax+b=c
rjesenje je x=b/a i x=(c-b)/a

KVADRATNE jednacine mogu da se izraze u obliku
ax²+ bx + c = 0, gdje je a ≠ 0 ( kad bi bilo jednako nuli, jednacina ne bi bila kvadratna vec linearna).
Zbog ovoga, kvadratna jednacina mora da sadrzi ax². Kako je a ≠ 0, mozemo podijeliti jednacinu sa a i da preuradimo jednacinu na standardni oblik
X²+ px=q
gdje je p = b/a а q = −c/a.
Rjesavanje ovoga, procesom dopune do kvadrata, vodi do KVADRATNE FORMULE.

Sistem linearnih jednacina

U slucaju kada imamo sistem linearnih jednacina, npr dvije jednacine sa dvije nepoznate, cesto je moguce naci rjesenja za obe promjenljive koje zadovoljavaju obe jednacine.

Primjer sistema linearnih jednaccna mogao bi da bude sljedece:

4x+2y=14
2x-y=1
Mnozenjem izraza u drugoj jednacini sa 2 dobijamo:
4x+2y=14
4x-2y=2
Sabiranjem jednacina, dobije se:
8x=16
sto se moze pojednostaviti
x=2
Kako nam je sada poznato da je x = 2, moguce je izracunati da je y = 3 iz bilo koje od dvije pocetne jednacine (umetanjem 2 umjesto x).
Kompletno rjesenje ovog sistema je
x=2 i y=3

Ovo nije jedini nacin da se rijesi ovaj sistem; mogli smo da nadjemo y prije nego sto smo nasli x.
Drugi nacin za rjesavanje istog sistema linearnih jednacina je smjenom.
4x+2y=14
2x-y=1
Ekvivalent y se moze naci koristenjem jedne od ovih jednacina. Mi cemo y naci iz druge jednacine.
2x-y=1
Oduzimanjem 2x sa obe strane jednacine:
2x-2x -y=1-2x
-y=1-2x
i mnozenjem sa -1 dobijamo:
y=2x-1
Koristenjem ove vrijednosti y u prvoj jednacini pocetnog sistema:
4x+2(2x-1)=14
4x+4x-2=14
8x-2=14
Dodavanjem 2 sa obe strane jednacine:
8x-2+2=14+2
8x=16
sto se moze pojednostaviti
x=2
Koristenjem ove vrijednosti u obe jednacine dobija se isto rjesenje kao i kod prethodnog metoda.
x=2 i y=3

Takodje, ni ovo nije jedini nacin da se rijesi ovaj sistem; i ovde smo mogli prvo da izracunamo y pa onda x.

Nerjesivi sistemi

U gornjem primjeru, moguce je naci rjesenje sistema. Medjutim, postoje i sistemi linearnih jednacina koje nemaju rjesenje.
Ocigledan primjer je:
x+y=1
Ox+0y=1
Druga jednacina u sistemu nema rjesenje, pa ni sistem ne moze biti rijesen. Medjudjutim, nije sve nezadovoljive sisteme moguce prepoznati.

Uzmimo na primjer sistem:

4x+2y=12
-2x-y=-4
Ako pokusamo da rijesimo ovaj sistem (koristenjem metode smjene koji je gore objasnjen, druga jednacina nakon dodavanja − 2x na obe strane i mnozenjem sa −1, daje:
y=-2x+4
A kada se ovo iskoristi kao vrijednost y u prvoj jednacini:
4x+2(-2x+4)=12
4x-4x+8=12
8=12
Nema preostalih promjenljivih, a jednakost nije tacna. Ovo znaci da prva jednacina ne moze da da rjesenje za vrijednost y dobijenu iz druge jednacine.

Neodredjeni sistemi

Postoje i sistemi sa visestrukim rjesenjima ili beskonacnim brojem rjesenja, za razliku od sistema sa jedinstvenim rjesenjem (gdje na primjer postoje jedinstvene vrednosti za x i y).

Na primjer:

4x+2y=12
-2x-y=-6
Ako izolujemo y u drugoj jednacini:
y=-2x+6
I iskoristimo ovu vrijednost u prvoj jednacini sistema:
4x+2(-2x+6)=12
4x-4x+12=12
12=12
Ova jednakost je tacna, ali nam ne daje vrijednost za x. Lako se moze provjeriti (upisivanjem nekih vrijednosti za x) da za svako x postoji resenje, sve dok je y = −2x + 6. Postoji beskonacan broj rjesenja ovog sistema.

roza	16.10.2010-19:57
Subject: Re: Elementarna algebra Broj 142857 U pitanju je jedan od najneobicnijih brojeva u matematici. Pri mnozenju ovog broja jacljaju se neobicnosti. U proizvodu se javljaju iste cifre. Pomnozimo ga sa 2, 3, 4, 5 i 6. 142 857 x 2 = 285 714 (14 je sa lijeve strane preslo na desnu) 142 857 x 3 = 428 571 ( jedinica je sa lijeve presla na desnu stranu). 142 857 x 4 = 571 428. 142 857 x 5 = 714 285 142 857 x 6 = 857 142 Ako broj mnozimo dalje sa 7 desava se nesto sasvim drugacije 142 857 x 7 = 999 999 Sa 8 142 857 x 8 = 1 142 856 Sada nam fali samo sedmica koja je sada podijeljena u dva broja, 6 i 1. Pomnozimo sa 9. 142 857 x 9 = 1 285 713 Jedina cifra koja sada nedostaje je 4, koja se rastavila na 3 sa desne i 1 sa lijeve strane. Neobicnosti vezane za broj 142 857 se javljaju i kada ga pomnozimo sa 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 i tako dalje. Ove neobicnosti su uslovile da se broj 142 857 smatra jednim od najtajanstvenijih u svijetu matematike

roza

16.10.2010-19:57

Subject: Re: Elementarna algebra

Broj 142857

U pitanju je jedan od najneobicnijih brojeva u matematici. Pri mnozenju ovog broja jacljaju se neobicnosti. U proizvodu se javljaju iste cifre.

Pomnozimo ga sa 2, 3, 4, 5 i 6.
142 857 x 2 = 285 714 (14 je sa lijeve strane preslo na desnu)
142 857 x 3 = 428 571 ( jedinica je sa lijeve presla na desnu stranu).
142 857 x 4 = 571 428.
142 857 x 5 = 714 285
142 857 x 6 = 857 142

Ako broj mnozimo dalje sa 7 desava se nesto sasvim drugacije
142 857 x 7 = 999 999
Sa 8
142 857 x 8 = 1 142 856
Sada nam fali samo sedmica koja je sada podijeljena u dva broja, 6 i 1.
Pomnozimo sa 9.
142 857 x 9 = 1 285 713
Jedina cifra koja sada nedostaje je 4, koja se rastavila na 3 sa desne i 1 sa lijeve strane.

Neobicnosti vezane za broj 142 857 se javljaju i kada ga pomnozimo sa 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 i tako dalje. Ove neobicnosti su uslovile da se broj 142 857 smatra jednim od najtajanstvenijih u svijetu matematike

roza	08.09.2012-21:29
Subject: Re: Elementarna algebra Ako brojeve od 1 do 8 pomnozimo brojem 8,pa onda sabiramo cifre rezultata sve dok ne ostane samo jedna cifra,8 u postepenoj koloni postepeno opada do 1.Grci su kao i ostale kulture ovo smatrali znacajnim. 18= 8...8...8 28=16...7...7 38=24...6...6 48=32...5...5 58=40...4...4 68=48...12...3 78=56...11... 2 88=64...10...1

roza

08.09.2012-21:29

Subject: Re: Elementarna algebra

Ako brojeve od 1 do 8 pomnozimo brojem 8,pa onda sabiramo cifre rezultata sve dok ne ostane samo jedna cifra,8 u postepenoj koloni postepeno opada do 1.Grci su kao i ostale kulture ovo smatrali znacajnim.

1*8= 8...8...8

2*8=16...7...7

3*8=24...6...6

4*8=32...5...5

5*8=40...4...4

6*8=48...12...3

7*8=56...11... 2

8*8=64...10...1

roza	30.04.2013-14:14
Subject: Re: Elementarna algebra Treba naci x i y tako da je x+y+xy=1 y+xy=1-x y(1+x)=1-x y=(1-x)/(1+x) y=c/d i x=a/b c/d=(1-a/d)/(1+a/d) c/d=((b-a)/b)/((b+a)/b)=(b-a)/(b+a) c=b-a d=b+a za a/b=3/5 imamo c/d=(5-3)/(5+3)=2/8=1/4 za a/b)=1/4 je c/d=(4-1)/(4+1)=3/5 evo nekoliko primjera 1/15 + 7/8 + 1/157/8 3/19 + 8/11 + 3/198/11 5/14 + 9/19 + 5/149/19 6/17 + 11/23 + 6/1711/23

roza

30.04.2013-14:14

Subject: Re: Elementarna algebra

Treba naci x i y tako da je
x+y+xy=1

y+xy=1-x
y(1+x)=1-x
y=(1-x)/(1+x)
y=c/d i x=a/b
c/d=(1-a/d)/(1+a/d)

c/d=((b-a)/b)/((b+a)/b)=(b-a)/(b+a)
c=b-a
d=b+a

za a/b=3/5 imamo c/d=(5-3)/(5+3)=2/8=1/4
za a/b)=1/4 je c/d=(4-1)/(4+1)=3/5

evo nekoliko primjera

1/15 + 7/8 + 1/15*7/8
3/19 + 8/11 + 3/19*8/11
5/14 + 9/19 + 5/14*9/19
6/17 + 11/23 + 6/17*11/23

roza	30.04.2013-14:15
Subject: Re: Elementarna algebra Hemicar treba da napravi 25%-tni rastvor kiseline. Koliko mu treba 15%-tnog rastvora, a koliko 30%-tnog da bi napravio 12 litara 25 % -tnog. Rastvora 15x+(12-x)30=2512 15x+360-30x=300 15x=60 x=4 (litra 15%-tnog) 12-4=8 Ovdje koristimo metodu razmjere. Rjesenja su u razmjeri 2:1. Kako je 30-25=5 i 25-15=10 (razmjera 2:1) Brzo rjesenje problema je 30-25 = 5 25-15 = 10 5 + 10 = 15 i koristiti 5/15 * 12 = 4 litara 15%-tnog rastvora i 10/15 * 12 = 8 litara 30%-tnog rastvora . Za koncentracije p i q i r rastvora imamo: x*p+(1-x)q=r x=1-(r-q)/(p-q) x=[p-q-(r-q)]/(p-q)=(p-q-r+q)/(p-q)=(r-q)/(p-q) 1 - x = 1 - (r - q) / (p - q) = (p- q - r + q) / (p - q) = (p - r) / (p - q) Pa je x / (1-X) = (r - q) / (p - r)

roza

30.04.2013-14:15

Subject: Re: Elementarna algebra

Hemicar treba da napravi 25%-tni rastvor kiseline. Koliko mu treba 15%-tnog rastvora, a koliko 30%-tnog da bi napravio 12 litara 25 % -tnog. Rastvora
15x+(12-x)*30=25*12
15x+360-30x=300
15x=60
x=4 (litra 15%-tnog)
12-4=8

Ovdje koristimo metodu razmjere. Rjesenja su u razmjeri 2:1.
Kako je 30-25=5 i 25-15=10 (razmjera 2:1)

Brzo rjesenje problema je
30-25 = 5
25-15 = 10
5 + 10 = 15
i koristiti
5/15 * 12 = 4 litara 15%-tnog rastvora i
10/15 * 12 = 8 litara 30%-tnog rastvora .

Za koncentracije p i q i r rastvora imamo:
x*p+(1-x)q=r
x=1-(r-q)/(p-q)
x=[p-q-(r-q)]/(p-q)=(p-q-r+q)/(p-q)=(r-q)/(p-q)
1 - x = 1 - (r - q) / (p - q)
= (p- q - r + q) / (p - q) = (p - r) / (p - q)
Pa je
x / (1-X) = (r - q) / (p - r)

roza	30.04.2013-14:19
Subject: Re: Elementarna algebra Svaki prirodni broj n³+11n djeljiv je sa 6 0³ + 0 = 0 (mod 6) 1³ + 11 = 12 = 0(mod 6) 2³ + 22 = 30 = 0(mod 6) 3³ + 33 = 60 = 0(mod 6) 4³ + 44 = (-2)³ + 44 = 36 = 0(mod 6) 5³ + 55 = (-1)³ + 55 = 54 = 0(mod 6) n³+11n-12n =n³-n=(n-1)n(n+1) (mod6)(proizvod 3 uzastopna broja) ili mat indukcijom neka vazi za p (p+1)³+11(p+1)=p³+3p²+3p+1+11p+11=[(p³+11p)+12]+3p²+3p Kako je p³+11p=0 (mod6) 12=0 (mod 6) Treba ispitati 3p²+3p 3p²+3p= 3p(p+1) =0 (mod6) p(p+1) proizvod 2 uzastopna prirodna broja uvijek je paran broj Pa je n³+11n =0 (mod.6)

roza

30.04.2013-14:19

Subject: Re: Elementarna algebra

Svaki prirodni broj n³+11n djeljiv je sa 6
0³ + 0 = 0 (mod 6)
1³ + 11 = 12 = 0(mod 6)
2³ + 22 = 30 = 0(mod 6)
3³ + 33 = 60 = 0(mod 6)
4³ + 44 = (-2)³ + 44 = 36 = 0(mod 6)
5³ + 55 = (-1)³ + 55 = 54 = 0(mod 6)
n³+11n-12n =n³-n=(n-1)n(n+1) (mod6)(proizvod 3 uzastopna broja)
ili mat indukcijom
neka vazi za p
(p+1)³+11(p+1)=p³+3p²+3p+1+11p+11=[(p³+11p)+12]+3p²+3p
Kako je
p³+11p=0 (mod6)
12=0 (mod 6)
Treba ispitati 3p²+3p
3p²+3p= 3p(p+1) =0 (mod6)
p(p+1) proizvod 2 uzastopna prirodna broja uvijek je paran broj
Pa je
n³+11n =0 (mod.6)

roza	17.07.2013-18:39
Subject: Re: Elementarna algebra Proizvod dva dvocifrena broja kod kojih je cifra jedinica jednaka, a zbir cifara jedinica 10, odnosno: 23* 27=621 (23=6, dopisemo 37=21) 3436=1224 (34=12, dopisemo 64=24) 5258= 3016 (56=30, dopisemo 28=16) Pravilo: cifru jedinica pomnozimo sljedecim prirodnim brojem i dopisemo proizvod jedinica U slucaju 61* 69 = 4209 (6* =42, a mnozenjem cifri jedinica imamo 19=9. Kako taj proizvod mora biti dvocifren pisemo 09). Na isti nacin dobijamo proizvod decimalnih brojeva. 0,34(-3,6) = - 1, 224. Kako podijeliti trocifreni broj cije su sve cifre jednake 222:37 = 6 (2 +2 +2 = 6) 333:37 = 9 ( 3 +3 +3 = 9) 777:37 = 21 (7 +7 +7 = 21) 888:37 = 24 (8+8+ 8= 24)

roza

17.07.2013-18:39

Subject: Re: Elementarna algebra

Proizvod dva dvocifrena broja kod kojih je cifra jedinica jednaka, a zbir cifara jedinica 10, odnosno:

23* 27=621 (2*3=6, dopisemo 3*7=21)
34*36=1224 (3*4=12, dopisemo 6*4=24)
52*58= 3016 (5*6=30, dopisemo 2*8=16)

Pravilo: cifru jedinica pomnozimo sljedecim prirodnim brojem i dopisemo proizvod jedinica

U slucaju
61* 69 = 4209 (6* =42, a mnozenjem cifri jedinica imamo 1*9=9. Kako taj proizvod mora biti dvocifren pisemo 09).

Na isti nacin dobijamo proizvod decimalnih brojeva.
0,34*(-3,6) = - 1, 224.

Kako podijeliti trocifreni broj cije su sve cifre jednake
222:37 = 6 (2 +2 +2 = 6)
333:37 = 9 ( 3 +3 +3 = 9)
777:37 = 21 (7 +7 +7 = 21)
888:37 = 24 (8+8+ 8= 24)

roza	04.04.2015-05:23
Subject: Re: Elementarna algebra

roza

04.04.2015-05:23

Subject: Re: Elementarna algebra

roza	04.04.2015-05:31
Subject: Re: Elementarna algebra

roza

04.04.2015-05:31

Subject: Re: Elementarna algebra

roza	30.08.2015-07:12
Subject: Re: Elementarna algebra Mnozenje brojevima od 12 do 19 vrsi se na isti nacin. Pomnozimo cifre jedinica i zapisemo dobijeni broj. Ako je dvocifren, cifur desetica prenosimo. Sada pomnozimo broj desetica broja kojeg mnozimo sa cifrom jedinica broja kojim mnozimo i dodamo broj koji mnozimo 5217= 27=14 (4 i prenosimo 1) 75+52+1=35+52+1=88 Odnosno 5217=884 8416= 46=24 (4 prenosimo 2) 86+84+2=48+84+2=134 Odnosno 8416=1344 11312= 32=6 112+113=22+113=135 11312=1356 Brojem 50 mnozimo tako da broj koji mnozimo podijelimo sa 2 i pomnozimo sa 100 12650=(126/2)100=63100=6300 32150=(321/2)100=160,5100=16050 Ili 321/2=160 i ostatak je 1 Ako je ostatak 1 posljednje 2 cifre su 50 32150=160100+50=16050 Brojem 75 mnozimo tako da ¾ broja kojeg mnozimo pomnozimo sa 100. 8475= 843/4100=213100=63100=6300 Ili 84:4=21 213=63 63100=6300 12375 123/4=30 ( ostatak 3) 12375=303100+ (375)=9000+225=9225 Mnozenje sa 101 vrsi se na sljedei nacin 53101=5353 46101=4646 453101= (4+453)100+53=457100+53=45753 998101=(998+9)100+98=1007100+98=100798 Mnozenje brojevima slicnim broju 101 odnosno sa 201, 202, 203... odnosno oblika 100a+b 23203= 232=46 233=49 23*203=4649

roza

30.08.2015-07:12

Subject: Re: Elementarna algebra

Mnozenje brojevima od 12 do 19 vrsi se na isti nacin.

Pomnozimo cifre jedinica i zapisemo dobijeni broj.
Ako je dvocifren, cifur desetica prenosimo.
Sada pomnozimo broj desetica broja kojeg mnozimo sa cifrom jedinica broja kojim mnozimo i dodamo broj koji mnozimo

52*17=
2*7=14 (4 i prenosimo 1)
7*5+52+1=35+52+1=88
Odnosno
52*17=884

84*16=
4*6=24 (4 prenosimo 2)
8*6+84+2=48+84+2=134
Odnosno
84*16=1344

113*12=
3*2=6
11*2+113=22+113=135
113*12=1356

Brojem 50 mnozimo tako da broj koji mnozimo podijelimo sa 2 i pomnozimo sa 100

126*50=(126/2)*100=63*100=6300
321*50=(321/2)*100=160,5*100=16050
Ili
321/2=160 i ostatak je 1
Ako je ostatak 1 posljednje 2 cifre su 50
321*50=160*100+50=16050

Brojem 75 mnozimo tako da ¾ broja kojeg mnozimo pomnozimo sa 100.

84*75= 84*3/4*100=21*3*100=63*100=6300
Ili
84:4=21
21*3=63
63*100=6300

123*75
123/4=30 ( ostatak 3)
123*75=30*3*100+ (3*75)=9000+225=9225

Mnozenje sa 101 vrsi se na sljedei nacin
53*101=5353
46*101=4646
453*101= (4+453)*100+53=457*100+53=45753
998*101=(998+9)*100+98=1007*100+98=100798

Mnozenje brojevima slicnim broju 101 odnosno sa 201, 202, 203... odnosno oblika 100a+b

23*203=
23*2=46
23*3=49
23*203=4649

roza	30.08.2015-07:30
Subject: Re: Elementarna algebra Mnozenje dva broja vecih od 100, ali u neposrednoj blizini broja 100(100+a) (100+b)= 10000+100a+100b+ab= 100(100+a+b)+ab Pomnozimo cifre jedinica a, b.Dobijeni proizvod cini posljednje 2cifre Saberemo cifre jedinica. Zbir predstavlje cifru stotica 104102=[2+4=6; 24=8]=10608 106²=[6*6=36; 6+6=12]=11236 jer je 10000+1200+36=11236

roza

30.08.2015-07:30

Subject: Re: Elementarna algebra

Mnozenje dva broja vecih od 100, ali u neposrednoj blizini broja 100(100+a) (100+b)= 10000+100a+100b+ab= 100(100+a+b)+ab

Pomnozimo cifre jedinica a, b.Dobijeni proizvod cini posljednje 2cifre
Saberemo cifre jedinica. Zbir predstavlje cifru stotica

104*102=[2+4=6; 2*4=8]=10608

106²=[6*6=36; 6+6=12]=11236
jer je
10000+1200+36=11236

roza	27.06.2016-16:14
Subject: Re: Elementarna algebra Prirodni brojevi a i b cine prijateljski par brojeva ako je zbir pravih djelitelja broja a (onih koji su manji od a) jednak broju b i istovremeno zbir pravih djelitelja broja b jednak je broju a. Najmanji je (220, 284). Pravi djelitelji broja 220 su: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110, a njihov zbir je 284. Zbir pravih djelitelja broja 284 je jednak 220. Poznati francuski matematiar Ferma nasao je 1636. godine drugi par prijateljskih brojeva (17 296, 18 416). Zajedno sa Dekartom, Ferma je otkrio pravilo za formiranje takvih parova. U 18. vijeku Ojler je objavio spisak od 64 para prijateljskih brojeva, medju kojima su dva bila pogresna. Sesnaestogodisnji Italijan Paganini nasao je 1867. godine par prijateljskih brojeva (1 184, 1 210) koji su daleko manji od Fermaovih. Uz pomoc racunara danas je pronadjeno vise od 600 prijateljskih parova. Prvo mjesto na listi zauzima (220,284), iza njega je Paganinijev (1 184, 1 210), zatim dolazi (2 620, 2 924) itd. Fermaov par je tek na 8. mjestu. Svim poznatim parovima prijateljskih brojeva, oba su parna ili, sto je mnogo redje, oba neparna. Nije poznato da li postoji mjesovit par, sastavljen od jednog parnog i jednog neparnog broja. Nije poznata formula za sve prijteljske parove, niti se zna da li ih ima konacno ili beskonacno mnogo. 220 i 284 1184 i 1210 2620 i 2924 5020 i 5564 6232 i 6368 10744 i 10856 12285 i 14595 17296 i 18416 63020 i 76084 66928 i 66992 67095 i 71145 69615 i 87633 79750 i 88730 100485 i 124155 122265 i 139815 122368 i 123152 141664 i 153176 142310 i 168730 171856 i 176336 176272 i 180848 185368 i 203432 196724 i 202444 280540 i 365084 308620 i 389924 319550 i 430402 356408 i 399592 437456 i 455344 469028 i 486178 503056 i 514736 522405 i 525915 600392 i 669688 609928 i 686072 624184 i 691256 635624 i 712216 643336 i 652664 667964 i 783556 726104 i 796696 802725 i 863835 879712 i 901424 898216 i 980984

roza

27.06.2016-16:14

Subject: Re: Elementarna algebra

Prirodni brojevi a i b cine prijateljski par brojeva ako je zbir pravih djelitelja broja a (onih koji su manji od a) jednak broju b i istovremeno zbir pravih djelitelja broja b jednak je broju a.

Najmanji je (220, 284). Pravi djelitelji broja 220 su: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110, a njihov zbir je 284. Zbir pravih djelitelja broja 284 je jednak 220.

Poznati francuski matematiar Ferma nasao je 1636. godine drugi par prijateljskih brojeva (17 296, 18 416). Zajedno sa Dekartom, Ferma je otkrio pravilo za formiranje takvih parova.

U 18. vijeku Ojler je objavio spisak od 64 para prijateljskih brojeva, medju kojima su dva bila pogresna. Sesnaestogodisnji Italijan Paganini nasao je 1867. godine par prijateljskih brojeva (1 184, 1 210) koji su daleko manji od Fermaovih.

Uz pomoc racunara danas je pronadjeno vise od 600 prijateljskih parova. Prvo mjesto na listi zauzima (220,284), iza njega je Paganinijev (1 184, 1 210), zatim dolazi (2 620, 2 924) itd. Fermaov par je tek na 8. mjestu.

Svim poznatim parovima prijateljskih brojeva, oba su parna ili, sto je mnogo redje, oba neparna. Nije poznato da li postoji mjesovit par, sastavljen od jednog parnog i jednog neparnog broja. Nije poznata formula za sve prijteljske parove, niti se zna da li ih ima konacno ili beskonacno mnogo.

220 i 284
1184 i 1210
2620 i 2924
5020 i 5564
6232 i 6368
10744 i 10856
12285 i 14595
17296 i 18416
63020 i 76084
66928 i 66992
67095 i 71145
69615 i 87633
79750 i 88730
100485 i 124155
122265 i 139815
122368 i 123152
141664 i 153176
142310 i 168730
171856 i 176336
176272 i 180848
185368 i 203432
196724 i 202444
280540 i 365084
308620 i 389924
319550 i 430402
356408 i 399592
437456 i 455344
469028 i 486178
503056 i 514736
522405 i 525915
600392 i 669688
609928 i 686072
624184 i 691256
635624 i 712216
643336 i 652664
667964 i 783556
726104 i 796696
802725 i 863835
879712 i 901424
898216 i 980984

roza	27.06.2016-16:22
Subject: Re: Elementarna algebra Uredjenu trojku prirodnih brojeva (x, y, z) zovemo Pitagorina trojka ako su x, y katete, a z hipotenuza nekog pravouglog trougla, tj. ako vrijedi x² + y² = z² Ako su x, y, z relativno prosti, onda kazemo da je (x, y, z) primitivna Pitagorina trojka. (Takav trougao zovemo (primitivni) Pitagorin trougao. U svakoj primitivnoj Pitagorinoj trojki tacno jedan od brojeva x, y je neparan. Postoji jedinstvena Pitagorina trojka (n - 1,n,n + 1), n \equiv N,n > 1... Dokaz. Prema Pitagorinom teoremu imamo: (n-1)² + n²= (n + 1)². Primjenjujuci osnovne operacije imamo n²-2n+1+n²=n²+2n+1 n²= 4n, tj. n = 4. Jedinstvena Pitagorina trojka oblika (n-1, n, n + 1) je (3, 4, 5). Sve primitivne Pitagorine trojke (x, y, z) u kojima je y paran, date su formulama x = m²-n², y = 2mn, z = m² + n² gdje je m > n i m, n su relativno prosti prirodni brojevi razlicite parnosti. http://bs.matematika.wikia.com/...ine_trojke

roza

27.06.2016-16:22

Subject: Re: Elementarna algebra

Uredjenu trojku prirodnih brojeva (x, y, z) zovemo Pitagorina trojka ako su x, y katete, a z hipotenuza nekog pravouglog trougla, tj. ako vrijedi

x² + y² = z²

Ako su x, y, z relativno prosti, onda kazemo da je (x, y, z) primitivna Pitagorina trojka. (Takav trougao zovemo (primitivni) Pitagorin trougao.

U svakoj primitivnoj Pitagorinoj trojki tacno jedan od brojeva x, y je neparan.

Postoji jedinstvena Pitagorina trojka

(n - 1,n,n + 1), n \equiv N,n > 1...

Dokaz. Prema Pitagorinom teoremu imamo:

(n-1)² + n²= (n + 1)².

Primjenjujuci osnovne operacije imamo

n²-2n+1+n²=n²+2n+1

n²= 4n, tj. n = 4.

Jedinstvena Pitagorina trojka oblika

(n-1, n, n + 1) je (3, 4, 5).

Sve primitivne Pitagorine trojke (x, y, z) u kojima je y paran, date su formulama

x = m²-n², y = 2mn, z = m² + n²

gdje je m > n i m, n su relativno prosti prirodni brojevi razlicite parnosti.

http://bs.matematika.wikia.com/...ine_trojke