iCentar » Nauka » Matematika » Vedska matematika

roza	06.11.2010 14:38
Predmet:Vedska matematika Vedska matematika je drevni indijski matematicki sistem, odnosno tehnika racunanja osnovana na jedinstvenim pravilima. Pomocu ovih pravila mozemo napamet rijesiti svaki matematicki problem: 1. aritmeticki 2. algebarski 3. geometrijski 4. trigonometrijski kod ucenika ona potice razvoj i upotrebu intuicije i kreativnosti te ucenicima nudi mnostvo fleksibilnosti, zabave i zadovoljstva. Na veoma lak i brz nacin mozemo itzracunati proizvod dva trocifrena broja. Ovo zvuci kao carolija ali nije. Vedska matematika potice iz Veda, staroindijskih tekstova napisanih 1500. – 900. g.pne, a otkrio ju je Sri Bharati Krsna Tirthaji (1884.-1960.). Prema njegovim istrazivanjima cijela matematika je utemeljena na 16 pravila ili sutri (pravilo = sutra) te 13 pod-pravila ili sub-sutri koja rjesavaju svaki matematicki problem kako iz aritmetike tako i iz algebre, geometrije i trigonometrije napamet! Sutre su jednostavne formule opisane s nekoliko rijeci, lagane za razumjeti, primijeniti i zapamtiti. Shri Bharati kaze da ta pravila pokazuju put kojim se um prirodno krece. Svoja istrazivanja sacuvao je u knjizi Vedic Mathematics or sixteen simple mathematical formulae from Vedas. Iako je ta knjiga trebala biti samo uvod u matematiku, nazalost, samo je nju stigao napisati.

roza

06.11.2010 14:38

Predmet:Vedska matematika

Vedska matematika je drevni indijski matematicki sistem, odnosno tehnika racunanja osnovana na jedinstvenim pravilima. Pomocu ovih pravila mozemo napamet rijesiti svaki matematicki problem:

1.   aritmeticki
2.   algebarski
3.   geometrijski
4.   trigonometrijski

kod ucenika ona potice razvoj i
upotrebu intuicije i kreativnosti te
ucenicima nudi mnostvo fleksibilnosti,
zabave i zadovoljstva.

Na veoma lak i brz nacin mozemo itzracunati proizvod dva trocifrena broja. Ovo zvuci kao carolija ali nije.

Vedska matematika potice iz Veda, staroindijskih tekstova napisanih 1500. – 900. g.pne, a otkrio ju je Sri Bharati Krsna Tirthaji (1884.-1960.). Prema njegovim istrazivanjima cijela matematika je utemeljena na 16 pravila ili sutri (pravilo = sutra) te 13 pod-pravila ili sub-sutri koja rjesavaju svaki matematicki problem kako iz aritmetike tako i iz algebre, geometrije i trigonometrije napamet!
Sutre su jednostavne formule opisane s nekoliko rijeci, lagane za razumjeti, primijeniti i zapamtiti. Shri Bharati kaze da ta pravila pokazuju put kojim se um prirodno krece. Svoja istrazivanja sacuvao je u knjizi Vedic Mathematics or sixteen simple mathematical formulae from Vedas. Iako je ta knjiga trebala biti samo uvod u matematiku, nazalost, samo je nju stigao napisati.

roza	06.11.2010 14:40
Predmet:Re: Vedska matematika 1. TABLICA MNOZENJA Prije mnozenja potrebno je objasniti pojam baze i komplementa nekog broja. Najbolje je krenuti s primjerom: Komplement broja 8 (u bazi 10) je broj 2 (jer je 8+2=10), komplement broja 92 je broj 8 (jer je 92+8=100), komplement broja 971 je broj 29 (jer je 971+29=1000), itd. Dakle baza je broj koji se nalazi blizu zadanog broja (10, 100, 1000,… ali moze biti i 50, 40, 30, 20,… 500, … sve po potrebi, a kakvoj … najbolje je vidjeti na primjeru). Komplement od baze 10, 100, 1000, 10000… racuna se vrlo jednostavno po jednoj od 16 sutri ili pravila: ˝svi do 9, zadnji do 10˝. (rijec je o ciframa) Kako savladati tablicu mnozenja preko 5x5 uz pomoc prstiju?

roza

06.11.2010 14:40

Predmet:Re: Vedska matematika

1. TABLICA MNOZENJA

Prije mnozenja potrebno je objasniti pojam baze i komplementa nekog broja.
Najbolje je krenuti s primjerom:

Komplement broja 8 (u bazi 10) je broj 2 (jer je 8+2=10),
komplement broja 92 je broj 8 (jer je 92+8=100),
komplement broja 971 je broj 29 (jer je 971+29=1000), itd.

Dakle baza je broj koji se nalazi blizu zadanog broja (10, 100, 1000,… ali moze biti i 50, 40, 30, 20,… 500, … sve po potrebi, a kakvoj … najbolje je vidjeti na primjeru).
Komplement od baze 10, 100, 1000, 10000… racuna se vrlo jednostavno po jednoj od 16 sutri ili pravila:
˝svi do 9, zadnji do 10˝. (rijec je o ciframa)
Kako savladati tablicu mnozenja preko 5x5 uz pomoc prstiju?

roza	06.11.2010 14:41
Predmet:Re: Vedska matematika Primjeri: 1. Koliko je 6x8! Na jednoj ruci prikazimo broj 6 kao 5+1, jedan prst je dignut, a cetiri spustena. Na drugoj ruci prikazimo broj 8 (5+3) s tri dignuta prsta a dva spustena. Dignute prste s obe ruke saberimo (1+3=4) i dobivamo prvu cifru (4), a spustene prste pomnozimo (4x2=8) te tako dobivamo i drugu cifru (8). 6x8=48 Pogledajmo i primjer gdje cemo mnozenjem spustenih prstiju dobiti broj veci od 9, sto onda uciniti? Naravno, postoji sutra i za taj slucaj: ˝ako je jedan visak dopuni onog prije˝. 2. Koliko je 6x7 Na jednoj ruci prikazimo 6, (5+1), s jednim uzdignutim i 4 spustena prsta, a na drugoj ruci broj 7, (5+2), s dva podignuta i s 3 spustena prsta. Podignute prste saberimo (1+2=3), a spustene pomnozimo (4x3=12). Druga cifra ce sada biti 2, a 1 dodajemo prvoj cifri koja sada postaje broj 4. 1+2=3 (3+1=4) 4x3=12 tj 6x7=42 Isto se moze izracunati napamet, bez pomoci prstiju. 3. Koliko je 6x8 Baza je 10. Razmisljamo na sljedeci nacin: imam 6, a do 10 mi treba 4; imam 8, a do 10 mi treba 2. Rezultat opet dijelimo na dva dijela. Potrebno je na neki nacin pokusati vizualizirati sljedecu tablicu. U prvom stupcu se nalaze faktori koje mnozimo, a u drugom stupcu komplementi zadanih brojeva (u ovom slucaju u bazi 10). Minusi se pisu zato sto je faktor koji se mnozi manji od baze. Prvi dio odgovora (lijevi dio) izracunavamo tako da dijagonalno izracunamo 6-2=4 ili 8-4=4, a drugi dio (desni) tako da pomnozimo brojeve u 2. stupcu, (-4)(-2)=8 tj 6x8=48

roza

06.11.2010 14:41

Predmet:Re: Vedska matematika

Primjeri:

1.    Koliko je 6x8!
Na jednoj ruci prikazimo broj 6 kao 5+1, jedan prst je dignut, a cetiri spustena.
Na drugoj ruci prikazimo broj 8 (5+3) s tri dignuta prsta a dva spustena.
Dignute prste s obe ruke saberimo (1+3=4) i dobivamo prvu cifru (4), a spustene prste pomnozimo (4x2=8) te tako dobivamo i drugu cifru (8).

6x8=48

Pogledajmo i primjer gdje cemo mnozenjem spustenih prstiju dobiti broj veci od 9, sto onda uciniti? Naravno, postoji sutra i za taj slucaj:
˝ako je jedan visak dopuni onog prije˝.

2.    Koliko je 6x7

Na jednoj ruci prikazimo 6, (5+1), s jednim uzdignutim i 4 spustena prsta, a na drugoj ruci broj 7, (5+2), s dva podignuta i s 3 spustena prsta. Podignute prste saberimo (1+2=3), a spustene pomnozimo (4x3=12). Druga cifra ce sada biti 2, a 1 dodajemo prvoj cifri koja sada postaje broj 4.
1+2=3 (3+1=4)
4x3=12
tj 6x7=42

Isto se moze izracunati napamet, bez pomoci prstiju.

3.   Koliko je 6x8
Baza je 10.
Razmisljamo na sljedeci nacin: imam 6, a do 10 mi treba 4;
imam 8, a do 10 mi treba 2.

Rezultat opet dijelimo na dva dijela. Potrebno je na neki nacin pokusati vizualizirati sljedecu tablicu. U prvom stupcu se nalaze faktori koje mnozimo, a u drugom stupcu komplementi zadanih brojeva (u ovom slucaju u bazi 10). Minusi se pisu zato sto je faktor koji se mnozi manji od baze.
Prvi dio odgovora (lijevi dio) izracunavamo tako da dijagonalno izracunamo
6-2=4 ili 8-4=4, a
drugi dio (desni) tako da pomnozimo brojeve u 2. stupcu, (-4)(-2)=8
tj 6x8=48

roza	06.11.2010 14:43
Predmet:Re: Vedska matematika MNOZENJE BROJEVA KOJI SU BLIZU 10, 100, 1000, 10 000, 100 000… 4.Treba naci proizvod brojeva 96 i 92, ovdje je baza 100. 100-96=-4 100-92=-8 Prvi dio rjesenja dobivamo sabiranjem 96-8=88 ili 92-4=88, a drugi dio mnozenjem faktora -4 i -8 tj 8-4)(-8)=32. 96x92=8832 5. Koliko je 86x89 100-86=-14 100-89=-11 Racunamo u bazi 100 pa je jedna cifra viska u drugom dijelu 86-11=75 89-14=75 (-14)(-11)=154 (1⁵⁴) 75+1=76 Tj 86x89=7654 6. 998x997 1000-998=-2 1000-997=-3 997-2=995 (-2)(-3)=6 Drugi dio je 006 jer je baza 1000. Tj 998x997=995006

roza

06.11.2010 14:43

Predmet:Re: Vedska matematika

MNOZENJE BROJEVA KOJI SU BLIZU 10, 100, 1000, 10 000, 100 000…

4.Treba naci proizvod brojeva 96 i 92, ovdje je baza 100.
100-96=-4
100-92=-8
Prvi dio rjesenja dobivamo sabiranjem 96-8=88 ili 92-4=88, a drugi dio mnozenjem faktora -4 i -8 tj 8-4)(-8)=32.
96x92=8832

5. Koliko je 86x89

100-86=-14
100-89=-11
Racunamo u bazi 100 pa je jedna cifra viska u drugom dijelu
86-11=75
89-14=75
(-14)(-11)=154 (1⁵⁴)
75+1=76
Tj 86x89=7654

6. 998x997
1000-998=-2
1000-997=-3
997-2=995
(-2)(-3)=6
Drugi dio je 006 jer je baza 1000.
Tj
998x997=995006

roza	06.11.2010 14:45
Predmet:Re: Vedska matematika 7. 14x7 10-14=4 17-100=7 14+7=21 4X7=28 (2⁸ baza 10) 14x7=228 8. (jedan faktor veci, a jedan manji od baze) 106x88 100-106=6 100-98=-2 106-2=104 6X(2)=-12 Jedan faktor je veci, a jedan manji od baze, proizvod faktora u drugom stupcu je negativan broj te se u tom slucaju za drugi dio odgovora uzima pozitivan komplement dobivenog proizvoda. Baza je 100. 100-12=88 104(-12) je Viculum broj (sadrzi pozitivan i negativan dio), a pretvara se u obican tako da negativnom dijelu nadjemo komplement, a onaj ispred njega smanjimo za 1 (10400-12=10388)

roza

06.11.2010 14:45

Predmet:Re: Vedska matematika

7. 14x7
10-14=4
17-100=7
14+7=21
4X7=28 (2⁸ baza 10)

14x7=228

8. (jedan faktor veci, a jedan manji od baze) 106x88
100-106=6
100-98=-2
106-2=104
6X(2)=-12

Jedan faktor je veci, a jedan manji od baze, proizvod faktora u drugom stupcu je negativan broj te se u tom slucaju za drugi dio odgovora uzima pozitivan komplement dobivenog proizvoda. Baza je 100.
100-12=88
104(-12) je Viculum broj (sadrzi pozitivan i negativan dio), a pretvara se u obican tako da negativnom dijelu nadjemo komplement, a onaj ispred njega smanjimo za 1 (10400-12=10388)

roza	07.11.2010 09:23
Predmet:Re: Vedska matematika 9. Izracunaj 56x52 U ovom slucaju najbolje je za bazu uzeti broj 50. Imajmo na umu da je 100:2=50, pa cemo prvi dio rjesenja podijeliti s 2. Odnosno 56+2=58 58:2=29 6x2=12 Tj 56x52= 2912 10. Koliko je 43x47 U ovom primjeru za bazu mozemo uzeti broj 40, ali isto tako baza bi mogla biti i broj 50. Imajmo na umu da je 40=10x4 43=40+3 47=40+7 43+7=50 50x4 3x7=21(21) 184+2=186 Tj. 47x73=1861 U drugom dijelu je jedna cifra zbog baze 40 (40x10)

roza

07.11.2010 09:23

Predmet:Re: Vedska matematika

9. Izracunaj 56x52

U ovom slucaju najbolje je za bazu uzeti broj 50. Imajmo na umu da je 100:2=50, pa cemo prvi dio rjesenja podijeliti s 2.
Odnosno
56+2=58
58:2=29
6x2=12
Tj

56x52= 2912

10. Koliko je 43x47

U ovom primjeru za bazu mozemo uzeti broj 40, ali isto tako baza bi mogla biti i broj 50.
Imajmo na umu da je 40=10x4
43=40+3
47=40+7
43+7=50
50x4
3x7=21(21)
184+2=186
Tj.
47x73=1861
U drugom dijelu je jedna cifra zbog baze 40 (40x10)

roza	07.11.2010 09:25
Predmet:Re: Vedska matematika MNOZENJE SA 11 11. Koliko je 25x11. Prvu i trecu cifru prepisemo, a srednju cifru dobijemo tako da saberemo okolne. 2(2+5)5 Tj 25x11=275 12. Koliko je 69x11 6 (6+9)9 6 (15) 9 7(5)9 Tj 69x11=759 Koristimo sutru: ako je jedan visak dopuni onog prije. 13. Koliko je 327x11 3(3+2)(2+7)7 3(5)(9)7 Tj 327x11=3597

roza

07.11.2010 09:25

Predmet:Re: Vedska matematika

MNOZENJE SA 11

11.   Koliko je 25x11.
Prvu i trecu cifru prepisemo, a srednju cifru dobijemo tako da saberemo okolne.

2(2+5)5
Tj 25x11=275

12.   Koliko je 69x11

6 (6+9)9
6 (15) 9
7(5)9

Tj 69x11=759

Koristimo sutru:
ako je jedan visak dopuni onog prije.

13.   Koliko je 327x11

3(3+2)(2+7)7
3(5)(9)7
Tj 327x11=3597

roza	07.11.2010 09:27
Predmet:Re: Vedska matematika MNOZENJE KADA ZADNJE CIFRE OBA FAKTORA SABRANE DAJU 10 Napomena: Ovo pravilo vrijedi samo za mnozenje brojeva koji se nalaze unutar iste desetice! 13 Koliko je 37x33 Prvi dio rjesenja: mnozimo prvu cifru s vecom za jedan …3x4=12 Drugi dio rjesenja: mnozimo zadnje cifre 7x3=21 37x33=1221 14. Koliko je 118x112 Kada imamo trocifreni broj uzimamo prve dvije cifre jednog broja i mnozimo s brojem vecim za jedan. Drugi dio rjesenja je kao i u prethodnom primjeru proizvod posljednjih cifri brojeva. 11x12=132 8x2=16 118x112=13216

roza

07.11.2010 09:27

Predmet:Re: Vedska matematika

MNOZENJE KADA ZADNJE CIFRE OBA FAKTORA SABRANE DAJU 10

Napomena: Ovo pravilo vrijedi samo za mnozenje brojeva koji se nalaze unutar iste desetice!

13 Koliko je 37x33

Prvi dio rjesenja: mnozimo prvu cifru s vecom za jedan …3x4=12
Drugi dio rjesenja: mnozimo zadnje cifre 7x3=21
37x33=1221

14. Koliko je 118x112

Kada imamo trocifreni broj uzimamo prve dvije cifre jednog broja i mnozimo s brojem vecim za jedan. Drugi dio rjesenja je kao i u prethodnom primjeru proizvod posljednjih cifri brojeva.
11x12=132
8x2=16
118x112=13216

roza	07.11.2010 09:28
Predmet:Re: Vedska matematika MNOZENJE VERTIKALNO I DIJAGONALNO Sljedeca pravila vrijede opcenito za sve brojeve. 15. Koliko je 12x14 Prvo mnozimo zadnje cifre faktora (vertikalno) 2x4=8 i to je posljednja cifra rjesenja. Zatim mnozimo dijagonalno i wsabiremo umnoske 1x4=4 1x2=2 4+2=6 To je upravo srednji dio odgovora. Mnozenjem prvih cifri faktora (vertikalno) dobivamo prvu cifru ukupnog rjesenja. 12x14=168 16. Koliko je 28x19 2x1 (2x9+1x8) 8x9 2 (18+8) 72 2 (26) 72 2(33)2 2 (33)2 5(3)2 28x19=532

roza

07.11.2010 09:28

Predmet:Re: Vedska matematika

MNOZENJE VERTIKALNO I DIJAGONALNO

Sljedeca pravila vrijede opcenito za sve brojeve.

15. Koliko je 12x14
Prvo mnozimo zadnje cifre faktora (vertikalno) 2x4=8 i to je posljednja cifra rjesenja.
Zatim mnozimo dijagonalno i wsabiremo umnoske
1x4=4
1x2=2
4+2=6
To je upravo srednji dio odgovora.
Mnozenjem prvih cifri faktora (vertikalno) dobivamo prvu cifru ukupnog rjesenja.
12x14=168

16. Koliko je 28x19

2x1 (2x9+1x8) 8x9
2 (18+8) 72
2 (26) 72
2(33)2
2 (33)2
5(3)2
28x19=532

roza	07.11.2010 09:31
Predmet:Re: Vedska matematika KVADRIRANJE 16. Koliko je 98² 98-2=96 2x2=4 98²=9604 Za bazu uzimamo broj 100. Prvi dio proizvoda racunamo tako da od broja koji kvadriramo oduzmemo njegov komplement u pripadnoj bazi. (98-(100-98)). Drugi dio odgovora dobit cemo ako dobiveni komplement kvadriramo, ali moramo voditi racuna o broju cifri. U ovom primjeru baza je 100 sto znaci da se drugi dio odgovora mora sastojati od 2 cifre. KVADRIRANJE BROJEVA KOJIMA JE POSLJEDNJA CIFRA 5 17. Izracunati 15² Prvi dio odgovora nalazimo tako da prvu cifru pomnozimo s brojem koji je za jedan veci od nje. Drugi dio odgovora je jednostavno . 1x2=2 5x5=25 15²=225 18. Koliko je 95² 9x10=90 5x5=25 95²=9025

roza

07.11.2010 09:31

Predmet:Re: Vedska matematika

KVADRIRANJE

16. Koliko je 98²

98-2=96
2x2=4
98²=9604

Za bazu uzimamo broj 100.
Prvi dio proizvoda racunamo tako da od broja koji kvadriramo oduzmemo njegov komplement u pripadnoj bazi.

(98-(100-98)).

Drugi dio odgovora dobit cemo ako dobiveni komplement kvadriramo, ali moramo voditi racuna o broju cifri. U ovom primjeru baza je 100 sto znaci da se drugi dio odgovora mora sastojati od 2 cifre.

KVADRIRANJE BROJEVA KOJIMA JE POSLJEDNJA CIFRA 5

17. Izracunati 15²

Prvi dio odgovora nalazimo tako da prvu cifru pomnozimo s brojem koji je za jedan veci od nje.
Drugi dio odgovora je jednostavno .
1x2=2
5x5=25
15²=225

18. Koliko je 95²
9x10=90
5x5=25
95²=9025