Centar za edukaciju-BiH

Predmet:Tacka prava i ravan

---

Tacka, prava i ravan su osnovni pojmovi geometrije. Neka su prava i ravan skupovi tacaka. Kako se ne definisu i njihove osobine daju se aksiomima.

Aksiomi prave

1. Svake dvije razlicite tacke pripadaju jednoj i samo jednoj pravoj
2. Svaka prava sadrzi najmanje dvije zajednicke tacke.
3. Postoje tri nekolinearne tacke

Dvije tacke su uvijek kolinearne

Presjek dvije prave

Za dvije prave koje imaju jednu zajednicku tacku kazemo da se sijeku.

Zajednicka tacka te dvije prave naziva se sjeciste ili presjecna tacka. a ∩ b={C}

Kolinearne i nekolinearne tacke

Za tacke koje leze na jednoj pravoj kazemo da su kolinearne tacke.
Za tri tacke koje ne leze na jednoj pravoj kazemo da su nekolinearne.

Postoje tri nekolinearne tacke

Posljedice

1.Dvije razlicite prave imaju najvise jednu zajednicku tacku
2.Van svake dvije prave postoji bar jedna tacka.

Paralelne i mimoilazne prave

Za dvije prave koje leze u jednoj ravni i nemaju zajednickih tacaka kazemo da su paralelne. Za prave koje ne leze u jednoj ravni kazemo da su mimoilazne.

Za dvije prave a i b vazi:
1. Ako je a ∩ b={A, B}=> a=b
2. Ako je a ∩ b={A} sijeku se
3. Ako a i b nemaju zajednickih tacaka a j3e paralelno sa b

Udaljenost paralelnih pravi

Neka je data tacka M jedne prave i njena projekcije M' na drugu pravu Trazi se njena projekcij


Iz navedenih uslova odredjujemo koeficijent k, а sа njime odredjeno je i M'. Udaljenost tacaka M i M' je јеdnaka udaljenosti izmedju paralelnih pravi a i b.

U trodimenzionalnom prostoru ova udaljenost je jednaka visini paralelograma kojeg cine vektori

a dobije se kao kolicnik povrsine ovog paralelograma (intenzitet vektorskog proizvoda) i intenzitet vektora v.


Da bi se odredila udaljenost dvije mimoilazne prave treba predstaviti vektor izmedju njih, a zatim da se odrede parametri za koje ce on biti minimalan. Neka je ovaj vektor w, a opste tacke pravih a i b su M i N.odnosno bice:


intenzitet vektora
Ovdje korijen ne utice na vrijednost na koju parametri i α i β imaju za maximalnu vrijednost izraza korijen se moze izbaciti.
Sada cemo odrediti prve izvode izraza f(α,β) pо α i po β. Dobijamo sistem dvije jednacine sa dvije nepoznate α i β, koji mozemo rijesiti.


Odredjujemo α и β i vrijednosti uvrstimo u jednacine prave a i b, Ove koordinate ce predstavljati tacke, nazovimo ih M₀ i N₀, d(a,b) = d(M₀,N₀).

---

Predmet:Re: Tacka prava i ravan

---

Aksiom uredjenosti prave
Prava je na odredjen nacin uredjen skup

1.Za tacke X,Y prave a vazi X <Y ili Y<X (potpunost)
2.Ako je X <Y onda nije Y<X (antisimetricnost)
3.Ako je (X<Y) i( Y<Z) =>X<Z (tranzitivnost)
4.Za tacku Y prave a postoje tacke X i Z na a tako da je X<Y i Y<Z( produzavanje prave)
5.Za X i Z prave a postoji tacka Y takva da je X <Y( gusto uredjen skup)
Dedekindov aksiom

Ako sve tacke prave podijelimo u dvije neprazne klase tako da je svaka klasa prve klase ispred svake tacke druge klase onda ili prva klasa ima svoju poslednju ili druga klasa svoju prvu tacku

Ravan
Ravan je odredjena sa aksiomama.
1. Svake tri nekolinearne tacke pripadaju jednoj i samo jednoj ravni.
2. Svaka ravan sadrzi najmanje tri nekolinearne tacke.
3. Postoje 4 tacke koje ne pripadaju jednoj ravni
Komplanarne i nekomplanarne tacke
Za tacke koje leze u jednoj ravni kazemo da su komplanarne. Za 4 tacke koje ne leze u jednoj ravni kazemo da su nekomplanarne.
Aksiom prave i ravni

Ako ravan sadrzi dvije razlicite tacke jedne prave onda ona sadrzi tu pravu.
Posljedica
Ravan i prava koja ne lezi u toj ravni mogu imati najvise jednu zajednicku

Teorema
Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrzi dvije prave koje se sijeku.
Teorema
Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrzi datu pravu i datu tacku koja ne pripada toj pravoj.
Teorma
Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrzi dvije paralelne prave
Aksiom dviju ravni

Presjek dviju razlicitih ravni je prava.

Medjusobni polozaj prave i ravni

a i α imaju bar dvije zajednicke tacke, onda a lezi u α
a i α imaju jednu zajednicke tacke, onda prava a sijece ravan α

Poluprava
Neka je na pravoj a data tacka O. Tada je za svaku drugu tacku Z prave a:

1. O<Z ili Z<O
2. Ako je O<Z onda nije Z<O

Za sve tacke X≠O prave a skup a bez tacke O podijeljen u dvije klase tacaka, jednu klasu tacaka cine tacke za koje je X<O, a drugu za koje je O<Y.

---

Predmet:Re: Tacka prava i ravan

---

Za obe ove klase postoje tacke A i B takve da je A<O i O<B

Skup tacaka prave koje leze sa iste strane date tacke O te prave nazivamo otvorena poluprava , tacka O je pocetak te poluprave. Ako otvorenoj polupravoj prikljucimo tacku O dobijamo zatvorenu polupravu Svaka tacka prave dijeli pravu na dvije otvorene i dvije zatvorene poluprave,za koje kazemo da su suprotne. Produzenje duzi AB nazivamo onu polupravu prave AB kojoj je pocetak tacka B, a kojoj pripada tacka A. Za dvije poluprave kazemo da imaju isti smjer ako se jedna od tih polupravih sadrzi u drugoj, u protivnom imaju suprotan smjer

---

Predmet:Re: Tacka prava i ravan

---

Duz

Duz prave je skup koji sacinjavaju tacke A,B prave a i sve tacke koje se nalaze izmedju tih tacaka. Tacke A, B su krajevi duzi, a ostale tacke unutrasnje tacke duzi. Skup tih tacaka je otvorena duz. Duz ciji su krajevi A i B nazivamo rastojanje (odstojanje) tacaka Ai B. Za duz ciji su krajevi A i B kazemo da je duz AB i oznacavamo sa AB ili BA Duz ciji se krajevi A i B poklapaju naziva se nulta duz.

Orjentisana duz

Orjentisana duz je duz ciji su krajevi tacke, a nazivamo je i vektorom. Prvi kraj orjentisane duzi AB je pocetak te duzi. Uzmimo uredjenost prave u smjeru u kome je A<B i C<D kazemo da vektori AB i CD imaju isti smjer; a ako je D<C onda vektoriAB CD

Nula duz odredjuje nula vektor 0
Sadrzavanje duzi

Teorema

1. Ako je M unutrasnja tacka duzi AB onda duz AM i MB sadrze se strogo u duzi AB tj AM je podskup od AB i BM podskup AB

* duz AB= AM U MB i pri tom je AM ∩ MB = (M)
* ako su M i N unutrasnje tacke duzi AB onda se duz MN sadrzi u AB
2. Ako su M,N unutrasnje tacke duzi AB onda se duz MN sadrzi u duzi AB

Posljedica

1. duz (prava) sadrze beskonacno mnogo tacaka
2. ravan sadrzi beskonacno mnogo tacaka
Skup svih pravi koje prolaze kroz tacku ravni i leze u toj ravni cine pramen pravih s vrhom u tacki A.

Aksioma prenosenja duzi

Na datoj polupravoj postoji jedna i samo jedna tacka B takva da je duz jednaka datoj duzi.

Posljedica

Ako su B, B1 dvije tacke poluprave sa pocetkom A takve da je AB=AB1 onda je B=B1. Odnosno dvije razlicite tacke poluprave ne mogu imati jednako rastojanje od pocetka poluprave.

Sredina duzi

Tacka M duzi AB koja ima jednako rastojanje od krajeva A i B duzi ( AM=MB) naziva se sredina duzi Teorema Duz moze da ima samo jednu sredinu. Dokaz Neka duz AB ima dvije sredineM i N. AM=MB AN=NB

Za A<B je A<M<N<B ili A<N<M<B. Posmatrajmo A<M<N<B odnosno imamo niz relacija AM<AN ; AN=BN ; BN<BM odnosno AM<BM, nemoguce jer je AM=BM Ako je m sredina duzi onda je
AB=AM+MB=2 AM

Sabiranje duzi

Neka su A,B,C bilo koje tacke prave takve da je A<B<C, tj AB=a i BC=b , duz AC zvacemo zbirom duzi a i b.

Aksiom zbira duzi

Ako su tacke A,B,C kolinearne i M,N,P isto kolinearne tacke takve da je AB=MN i BC=NP onda je i AC=MP.

Teorema (pravilo zamjene)

Ako su odgovarajuci sabirci dvaju zbirova duzi jednaki onda su i zbirovi jednaki.

(a= a1 & b=b1) => a+b=a1 + b1 Na osnovu ove teoreme proizlazi a=b=>a+c=b+c Komutativnost zbira duzi a+b=b+a Asocijativnost (a+b)+c=a+(b+c)

Zbir od n jednakih duzi a oznacavamo sa na. Za proizvod na vaz: m(na)=(mn)a (m+n)a=ma + na m(a+b)= ma+mb

Za b=na vazi a=b/n

Razlika duzi

Za a>b na duzi AB postoji tacka C takva da je AC=b, duz a jednaka je zbiru duzi b i c. Duz c nazivamo razlika duzi a i b.

Odnosno razlika duzi a i b (a>b) koja se oznacava sa a-b je svaka duz c takva da je b+c= c+b=a.

b+c=a => c=a-b

Razlika jednakih duzi jednaka je nuli.
Uporedjivanje duzi

Neka su a i b proizvoljne duzi na poluprave sa pocetkom u A.

Nadjimo tacke B i C takve da je AB=a i AC=b . Za A<B<C kazemo da je duz a manja od duzi b( aa)

Ako su tacke B i C na jednoj polupravoj sa pocetkom u A, a B1, C1 na drugoj sa pocetkom u A1 takve da je AB=A1B1 & AC=A1C1, ako je A<B<C onda je i A1,B1<C1

Teorema
Ako je a=a1; b=b1 i a<a1 onda je i a<b1 Teorema Za proizvoljne duzi a,b iskljucivo je ab

Dokaz

Ako prenesemo duzi a,b na polupravu sa pocetkom u O tako da je OA=a i OB=b. Tada je moguc samo jedan od ova tri slucaja

* A=B onda je a=b
* O<A<B onda je a<b
* O<B<A onda je b<a

Teorema( Zakon tranzitivnosti)

Za duzi a,b,c vazi ( a<b & b<c) => a<c

Teorema(Zakon monotonije)

Za duzi a,b,c vazi ako je a<b onda je a+cb na duzi AB postoji tacka C takva da je AC=b, duz a jednaka je zbiru duzi b i c. Duz c nazivamo razlika duzi a i b.

Odnosno razlika duzi a i b (a>b) koja se oznacava sa a-b je svaka duz c takva da je b+c= c+b=a.

b+c=a => c=a-b

Razlika jednakih duzi jednaka je nuli.

---