Centar za edukaciju-BiH

Predmet:Jednacine i nejednacine

---

Za rjesavanje jednacina i nejednacina koristimo razne metode. Neke od tih metoda su slozene kao sto je grananje u sve moguce slucajeve. Ono vodi do niza sistema jednacina i nejednacina. Ovaj nacin je tezak za objedinjavanje i kontrolisanje rjesenja.
Rjesenje nalazimo i pomocu raznih tablica. One se zaboravljaju jer su opterecene formalizmom.
Graficka metoda je najednostavnija i ucenicima najprihvatljivija. Veoma lako je mozemo koristiti za rjrsavanje jednacina i nejednacina sa apsolutnim vrijednostima.

Primjer 1

.



Brojni pravac je podijeljen nula tackama na m+n+1 intervala. Prebrojim pravce u pruzi ispod pojedinog intervala.
Ako je taj broj paran onda je f(x)>0 odnosno ako je neparan onda je f(x)<0

Primjer 2



Brojni pravac podijeljen je na 4 intervala, ispod intervala 2 i 4 imamo n eparan vroj pravaca odnosno rjesenje je:



Ne moramo paziti na tacan razmak izmedju ovih tacaka na brojnom pravcu, vec samo na tacan redoslijed tacaka. Nije bitna ni ordinata, jer nisu bitne vrijednosti pojedinih funkcija.

---

Predmet:Re: Jednacine i nejednacine

---

Primjer 3

(2x²-3x+2)(4-4x-3x²)≤0
(2x+1)(x-2)(x+2)(2-3x)≤0
ova jednacina je ekvivalemtna sa jednacinom

(2x+1)(x-2)(x+2)(3x-2)≥0
Ispod intervala

---

Predmet:Re: Jednacine i nejednacine

---

Slika uz prinjer 3

---

Predmet:Re: Jednacine i nejednacine

---

Posmatrajmo funkciju

Ova funkcija je parna tj
f(x,y)=f(x,-y)=f(-x,y)=f(-x,-y)
Posmatrajmo funkciju u I kvadrantu odnosno za x≥0 i y≥0.
Posmatrajmo slucaj a=1
Graficki prikaz to je dio prave y=-x+1

Ovu duz preslikamo osnom simetrijom u II kvadrant. Osa simetrije y osa. Zatim duzine iz I i II kvadranta preslikamo u III i IV kvadrant. Simetrala x osa.
Grafik funkcije je kvadrat sa centrom u koordinantnom pocetku O(0,0), cija je diagonala 2.
Uopsteno duzina diagonale je 2a.

Uporedimo ovu funkciju sa funkcijom
x²+y²=a²

Prva jednacina je jednacina kvadrata a druga kruznice.
Centar im je u koordinantnom pocetku. Duzina diagonale kvadrata i precnik kruznice su 2a.

Isto imamo posmatrajuci funkcije

Njima su odredjeni kvadrat i kruznica sa centrom u (p,q) i diagonalom i precnikom 2a

Posmatrajmo reelaciju

Vec smo vidjeli da je ova funkcija parna. Za x≥0 i y≥0 nacrtajmo polupravu. Zatim je preslikajmo u ostala 3 kvadranta. Osna simetrija u odnosu na x i y ose.

Ova slika podsjeca na hiperbolu, jednacine x²-y²=a². Imamo razliku dva realna pozitivna broja. Prva jednakost je linearna a druga kvadratna pa imamo pravce i zakrivljenost.

---

Predmet:Re: Jednacine i nejednacine

---

Uporediti funkcije


Oba grafika nalaze se u poluravni y≥0.
Grafik prve funkcije je unija funkcija
y=x i y=-x.
Grafik druge funkcije je parabola.

Sami ispitati

Posmatrajmo funkcije

Grafik ovih funkcija ukazuje na analogiju izmedju romba i elipse



Uploaded with ImageShack.us


Uploaded with ImageShack.us

---

Predmet:Re: Jednacine i nejednacine

---

Iracionalna jednacina je jednacina kod kojih se nepoznata nalazi pod korjenom.

Iracionalne jednacine tipa


ovdje prvo odredimo Dp za oba korjena
Primjer

Prvo odredimo Dp:
U ovom slucaju imamo x≥0 i x≤0 odnosno x=0
a to nije rjesenje jednacine

---

Predmet:Re: Jednacine i nejednacine

---

---

Predmet:Re: Jednacine i nejednacine

---

Kako se sve moze rijesiti sistem jednacina?
Rijesi sistem linearnih jednacine:
2x + 3y = 19
x + y = 8.

I nacin
U nekoj jednacini izracunat cemo jednu nepoznatu. Uvijek nastojimo naci nepoznanitu uz koju stoji najmanji koeficijent po apsolutnoj vrijednosti. Vrijednost za nadjenu nepoznanitu uvrtavamo u drugu
jednacinu.
U nasem slucaju izracunat cemo y iz druge jednacine:
2x+3y=19
x+y=8=>y=8-x
2x+3y=19=>2x+3(8-x)=19
2x+24-3x=19
2x-3x=19-24=-5 ( mnozimo jednacinu sa (-1))
x=5
y=8-x=3

II nacin
Iz obe jednacine izracunamo istu nepoznanitu pa njihove vrijednosti kompariramo, uporedimo, tj. izmedjunadjenih vrijednosti za istu nepoznanitu stavimo znak jednakosti.


III nacin

U obe jednacine uz istu nepoznatu nastojimo dobiti suprotne koeficijente. To su dva broja ciji je zbir jednak 0. Da bismo dobili suprotne koeficijente moramo ili jednu ili obe jednadžbe pomnoziti odgovarajucim brojem.
2x + 3y = 19
x + y = 8 / • (– 2)
Drugu jednacinu pomnozili smo brojem (-2).
2x + 3y = 19
– 2x – 2y = – 16.
Saberimo jednacine
2x + 3y – 2x – 2y = 19 – 16.
y = 3.

Nepoznatu x nadjemo tako da y = 3 uvrstimo u drugu jednacinu
x + y = 8 => x + 3 = 8 => x = 8 – 3 = 5.
Rezultat je (x, y) = (5, 3).

IV nacin

Pomnozimo, prvu jednavinu neodredenim koeficientom A, A ≠0:
2Ax + 3Ay = 19A
x + y = 8.
Dobijene jednacime saberemo :
2Ax + 3Ay + x + y = 19A + 8.
(2A + 1)x + (3A + 1)y = 19A + 8.
Ako izraz uz nepoznanitu x izjednacimo s nulom, dobit cemo:
2A + 1 = 0 => 2A = – 1 => A =-1/2
Jednacina glasi
(3A + 1)y = 19A + 8.
Za A=-1/2 dobijamo
[3*(-1/2)+1]*y=19*(-1/2)+8
-y/2=-3/2
y=3
x+3=8=>x=5

---

Predmet:Re: Jednacine i nejednacine

---

IV nacin

Pomnozimo, prvu jednavinu neodredenim koeficientom A, A ≠0:
2Ax + 3Ay = 19A
x + y = 8.
Dobijene jednacime saberemo :
2Ax + 3Ay + x + y = 19A + 8.
(2A + 1)x + (3A + 1)y = 19A + 8.
Ako izraz uz nepoznanitu x izjednacimo s nulom, dobit cemo:
2A + 1 = 0 => 2A = – 1 => A =-1/2
Jednacina glasi
(3A + 1)y = 19A + 8.
Za A=-1/2 dobijamo
[3*(-1/2)+1]*y=19*(-1/2)+8
-y/2=-3/2
y=3
x+3=8=>x=5

V nacin
Najprije objasnimo pojam determinante drugog reda.
Binom a* d-b*c naziva se determinantom drugog reda i oznacava



2x + 3y = 19
x + y = 8



VI nacin
metoda pretpostavke
Pretpostavimo da su u nasem sistemu jednacina rješenja jednaka, tj. x = y.
Iz druge jednacine
x + y = 8 =>2x=8=>x=4
Znaci da su x = 4 i y = 4. Dobijene rezultate uvrstimo u prvu jednacinu
2x + 3y = 19 => 2 • 4 + 3 • 4 = 19 => 8 + 12 = 19 => 20 ≠19.
Vidimo da je lijeva strana prve jednacine veca od 19. Zato za nepoznanatu x uzimamo broj koji je manji od 4. Vrijednost od x promijenimo za neki iznos p.
x = 4 – p.
Uvrstimo to u drugu jednadžbu x + y = 8:
4 – p + y = 8 => y = 8 – 4 + p => y = 4 + p.
Nove vrijednosti za x i y opet uvrstimo u prvu jednacinu:
2(4 – p) + 3(4 + p) = 19 => 8 – 2p + 12 + 3p = 19 => – 2p + 3p = 19 – 8 – 12 => p = – 1.
Sada je:
x = 4 – p = 4 – (– 1) = 4 + 1 = 5 , y = 4 + p = 4 + (– 1) = 4 – 1 = 3.

VII nacin)
(metoda ''snadji se''
Na prijemnim ispitima uz zadani sistem uvijek ponude 4 ili 5 rezultata od kojih je samo jedan tacan. Na
primjer,
2x + 3y = 19
x + y = 8.
A)    (1, 4) B) (5, 3) C) (-3, 5) D) (4, 2) E) (7, 1).

Bez racunanja sistema bilo kojom metodom, jednostavno uvrstavajte koordinate x i y u jednacine i kada dobijete valjane jednakosti to je rezultat.
Rješenje je B) jer je
2 • 5 + 3 • 3 = 19 => 10 + 9 = 19 => 19 = 19
5 + 3 = 8 => 8 = 8.

VIII nacin (graficka metoda)
Nacrtamo pravce cije su jednadžbe
2x + 3y = 19
x + y = 8.
2x + 3y = 19 => 3y = – 2x + 19 / : 3 => y = – 2/3x + 19/3.
x + y = 8 => y = – x + 8.

---