Centar za edukaciju-BiH

Predmet:Osnovne racunske operacije

---

Posmatrajmo skup {1, 2, 3,..., n, n+1, ...}. Ovaj skup brojeva nazivamo skup prirodnih brojeva i obiljezavamo ga sa N. Broj 0 (nula) nije prirodam broj. Skup N mozemo prosiriti sa nulom. Na taj nacin dobijamo skup N₀₌N U{0}
U skupu N₀ mozemo definisati operacije sabiranja i oduzimanja.

Sabrati dva broja a i b znaci naci broj a+b=c

Brojeve a i b nazivamo sabirci a broj c zbir ili suma.
Sabiranje u ovom skupu ima sljedece osobine:

Komutativnost
a+b=b+a
2+3=5
3+2=5
tj
2+3=3+2

Asocijativnost
a+(b+c)=(a+b)+c
2+(3+4)=2+7=9
(2+3)+4=5+4=9
2+(3+4)=(2+3)+4

Ima neutralan broj
Broj n je neutralan ako i samo ako vrijedi
a+n=n+a=a
za sabiranje neutralan element je n=0 jer je
a+0=0+a=a
2+0=2=0+2

Inverzan element za sabieanje je broj m takav da je a+m=m+a=a. U skupu N ne postoji takav broj.

Oduzeti broj b od broja a znaci naci broj c takav da je
a-b=c odnosno a=c+b
a je umanjenik, b umanjitelj a c razlika brojeva a i b.

u skupu N₀ oduzimanje je definisano samo u slucaju kada je a>b. Ne moze se oduzeti veci broj od manjeg.
5-2=3
nemoguce je 3-5

U skupu N₀ mozemo oduzeti svaki broj a od samog sebe,. Dibicemo broj 0 (nula)
a-a=0
2-2=0,

Ako nulu oduzmemo od nekog broja on se nece promjeniti.
a-0=0
2-0=2

Da bi oduzimanje za slucaj a<b imalo smisla skup N₀ moramo prosiriti. Prosirit cemo ga suprotnim elementima (brojevima) skupa N. Suprotni elementi pozitivnih brojeva su negativni brojevi- oni imaju predznak - . ovaj skup nazivamo skup cijelih brojeva. Oznacavamo ga sa Z.

Svaki cijeli broj ima svog predhodnika n-1 i sljedbenika n+1. Mozemo uporediti cijele brojeve po velicni
(n-1)<n<(n+1)

-4<-2<0<2<4

Cijeli brojevi simetricno smjesteni na brojnoj osi u odnosu na nulu su suprotni brojevi. To su brojevi a i –a

Modul ili apsolutna vrijednost nekog broja je udaljenost cijelog broja od ishodista (btoja 0). Uvijek je pozitivna vrijednost.
Cijeli brojevi koji su simetrično smješteni na pravcu u odnosu na 0 međusobno su suprotni. Oznacava se s |z|

|0|=0
|1|=1
|-1|=1
|-4|=4
|9|=9

U skupu Z za operaciju sabiranje pored komutativnosti i asocijativnosti vrijedi:
Postoji neutralan element

a+0=0+a=a
(-2)+0=0+(-3)=(-2)
2+0=0+2=2
Zbir dva suprotna broja je nula z+(-z)=(-z)+z=0

Zbir pozitivnog i negativnog broja jednak je razlici njihovih apsolutnih vrijednosti s predznakom sabirka koji ima vecu apsolutnu vrijednost.
3+(-3)=0

7+(-5)=+(|7|-|-5|)=+(7-5)=+2=2 -9+4=-(|-9|-|4|)=-(9-4)=-5
Zbir dva negativna cijela broja je negativni broj cija je apsolutna vrijednost jednaka zbiru njihovih apsolutnih vrijednosti.

(-2)+(-3)=-(|-2|+|-3|)=-(2+3)=-5

Za cijele brojeve a i b vrijedi a-b=a+(-b).
Na taj način oduzimanje cijelih brojeva svodimo na sabiranje
9-5=9+(-5)=+(|9|-|5|)=+(9-5)=4

Racionalni brojevi su svi negativni razlomci, nula i pozitivni razlomci. Skup racionalnih brojeva označava se s Q.

Svaki razlomak mozemo zapisati u obliku a/b, gdje je a cijeli broj, a b prirodni broj.

Za svaki racionalni broj r vrijedi: a/1=a i 0/a=0
Racionalne brojeve možemo pridruživati točkama pravca.
Racionalni brojevi a/b i -a/b su suprotni brojevi.

Modul racionalnog broja (apsolutna vrijednost) je racionalni broj koji za brojnik ima modul brojnika, a za nazivnik modul nazivnika zadanog racionalnog broja.
Razlomci razlicitih nazivnika sabiraju se tako da ih svedemo na zajednicki nazivnik. Na taj način dobijemo razlomke jednakih nazivnika kojemozemo sabrati.
a/b + c/d= (ad+bc)/bd
2/4+2/3=(2*3+2*4)/3*4 =(6+8)/12=14/12

Zakonitosti koje vaze u skupu Z vaze i u Q.

Razlomci razlicitih nazivnika oduzimaju se tako da ih svedemo na zajednicki nazivnik, a zatim ih oduzmemo

---

Predmet:Re: Osnovne racunske operacije

---

Posmatrajmo skup N₀. Pomnoziti dva prirodna broja a i b znaci naci broj
a*b=c
Broj a je mnozenik, broj b je mnozitelj a broj c je proizvod.
Mnozenik i mnozitelj jednim imenom zovu se faktori.
Mnozenjem brojeva iz skupa prirodnih brojeva dobije su uvijek broj iz skupa prirodnih brojeva
Za mnozenje prirodnih brojeva vrijede sljedece osobine:

Broj 1 je neutralni element u odnosu na mnozenje a*1=a i 1*a=a
3*1=1*3=3
1*7=7*1=7

Ako je mnozitelj ili mnozenik 0 tada je proizvod 0.
a*0=0 i 0*a=0
2*0=0
0*5=0

Komutativnost mnozenja
a*b=b*a
5*6=30
6*5=30
5*6=6*5

Asocijativnost mnozenja
a*(b*c)=(a*b)*c
2*(4*3)=2*12=24
(2*4)*3=8*3=24
2*(4*3)=(2*4)*3

Distributivnost mnozenja prema zbrajanju
(a+b)*c=a*c+b*c
(4+3)*2=7*2=14
4*2+3*2=8+6=14
(4+3)*2=4*2+3*2

Distributivnost mnozenja prema oduzimanju
(a-b)*c=a*c-b*c za a≥ b
(12-3)*2=9*2=18
12*2-3*2=24-6=18
(12-3)*2=12*2-3*2

Proizvod pozitivnog i negativnog cijelog broja jednak je negativnom proizvodu njihovih apsolutnih vrijednosti.
a*(-b)=(-a)*b=-(a*b)
2*(-3)=-(2*3)=-6
Proizvod dva negativna cijela broja jednak je proizvodu njihovih apsolutnih vrijednosti.
(-a) *(-b)=|-a|*|-b|=a*b
(-5)*(-2)=|-5|*|-2|=5*2=10

Ako je u proizvod paran broj faktora proizvod je pozitivan, a ako je negativan broj faktora uproizvod je negativan.
(-2)*(-3)*(-4)=-24 (-2)*(-4)*(-5)*(-2)=80

Kod mnozenja cijelih brojeva vrijede osobine:
Ako je jedan faktor 0 proizvod je 0
z*0=0*z=0
5*0=0
Broj 1 je neutralan element z*1=1*z=z
Primjer 7*1=7
Proizvod broja a i (-1) rezultira suprotnim brojem a*(-1)=-a
9*(-1)=-9

Racionalne brojeve oznacimo sa r_n
U skupu Q za mnozenje vrijede osobine

Komutativnost
r₁*r₂=r₂*r₁

Asocijativnost
r_1*(r₂*r₃)=(r₁*r₂)*r₃

Distribucija mnozenja u odnosu na sabiranje i oduzimanje
r₁(r₂±r₃)=r₁*r₂±r₁*r₃

Neutralni element je 1
r₁*1=1*r₁=r₁

Mnozenjem sa -1 dobijamo suprotan broj
r₁*(-1)=-r₁

Mnozenjem sa nulom dobijamo 0(nulu)
r₁*0=0*r₁=0

Inverznan element je 1/r₁
r₁*(1/r₁)=1

Racionalni brojevi a/b i b/a su reciprocni i vrijedi a/b*b/a=1
Razlomke mozemo prosiriti
a/b=a*m/b*m (b≠0 i m≠0)
2/3=2*5/3*5=10/15

i skratiti ako vrijedi
a/b=a:m=b:m (b≠0 i m≠0)
10/15=10:5/15:5=2/5

Razlomci ciji su nazivnici dekadske jedinice (10,100,1000,...) zovu se decimalni razlomci.

Decimalni razlomci mogu se izraziti u decimalnom zapisu kao
jedna desetinka 1/10=0,1
jedna stotinka 1/100=0,01
jedna hiljadnina 1/1000=0,001

I ostale razlomke mozemo izraziti u decimalnom zapisu. To radimo prosirivanjem ili dijeljenjem brojnika s nazivnikom.
1/2=1*5/2*5=5/10=0,5

Razlomci izrazeni decimalnim zapisom zovu se decimalni brojevi.

Svaki decimalni broj sastoji se od dekadskih jedinica, decimalnog zareza i decimalnih jedinica (decimala).

Dekadske jedinice su lijevo, a decimale su desno od decimalnog zareza.

Uporedjivanje decimalnih brojeva
Od dva decimalna broja veci je onaj koji ima veci cijeli dio, a ako su im cijeli dijelovi jednaki veci je onaj koji ima vecu desetinku, pa stotinku, ...
2,7>1,7 4,5>4,3 4.22>4,21

Svaki prirodni broj moze se pisati kao decimalni broj.
3=3,0

Decimalni broj s prirodnim brojem mnozimo kao da nema decimalnog zareza, ali ju u dobivenom proizvodu napisemo na onoliko decimala koliko ima decimalni broj.

2,6*5=13,0
4,4*2=8,8
Decimalni broj s decimalnim brojem mnozimo kao prirodne brojeve, ali u proizvodu postavimo decimala koliko imaju oba decimalna broja zajedno.
1,1*1,1=1,21
Decimalni broj s dekadskom jedinicom mnozimo tako da decimalni zarez pomicemo udesno za onoliko mjesta koliko 0 ima dekadska jedinica.
4,3*10=43,0

---

Predmet:Re: Osnovne racunske operacije

---

Podijeliti broj a brojem b znaci naci broj c takav da je
a:b=c odmosno a=b*c

Broj a je djeljenik, broj b je djelitelj, a broj c je kolicnik .
Dijeljenjem dva broja iz skupa N_0 ne dobija se uvijek broj iz skupa N₀.
33:8= 4->nepotpuni kolicnik s ostatkom 1

Za dijeljenje prirodnih brojeva vrijede sljedece osobine:

Broj podijeljen sa 1 jednak je samom sebi a:1=a
5:1=5

Prirodni broj podijeljen sa samim sobom jednak je 1. a:a=1
7:7=1

Nula podijeljena s prirodnim brojem je 0.
0:a=0
0:12=0

Prosirivanje kolicnika
a:b=c → (a*d) : (b*d)=c
6:3=2 (6*3) : (3*3)=18:9=2

Skracivanje kolicnika a:d=c → (a:b) : (d:b)=c za d≠0
32:4=8 (32:2 ) : (4:2)=16:2=8

Djeljenje s nulom nema smisla
6:0=? Ne postoji prirodni broj koji pomnozen s 0 daje 6

Dijeljenje cijelih brojeva

Kolicnik negativnog i pozitivnog cijelog broja je negativni broj cija je apsolutna vrijednost jednaka kolicniku apsolutnih vrijednosti zadanih brojeva.
(-a):b=-(a:b)
(-6):3=-(6:3)=-2

Kolicnik dva negativna cijela broja je pozitivan broj cija je apsolutna vrijednost jednaka kolicniku apsolutnih vrijednosti djeljenika i djelitelja.
(-a) : (-b)= |-a| : |-b|=a:b
(-4) : (-2) |-4| : |-2|=4:2=2

Za cijeli broj a vrijede osobine:
Djeljenjem sa 1 broj se ne mijenja
z:1=z
5:1=5
(-3):1=-3

Djeljenjem sa -1 rezultira suprotnim brojem
a: (-1)=-a
7: (-1)=-7

Djeljenjem broja sa samim sobom dobije se 1.
z:z=1
8:8=1

Nula podijeljena s cijelim brojem je 0
0:z=0
0:2=0

U skupu Z ne postoji inverzan element za mnozenje. Da bi on postojao i da bi bilo definisano dijeljenje na cijelom skupu brojeva skup Z prosirujemo u skup racionalnih brojeva Q.

Dijeljenje racionalnih brojeva

Djeljenje racionalnih brojeva svodi se na mnozenje djeljenika s reciprocnom vrijednoscu djelitelja.
r₁:r₂=r₁*(1/r₂)
a/b:c/c=a/b*d/c
2/3:4/5=2/3*5/4=2*5/3*4=10/12

Kilicnik mozemo zapisati kao dvojni razlomak
a/b:c/d=(a/b)/(c/d)
(4/5)/(2/3)=4*3/2*2=12/10

Dijeljenje decimalnih brojeva

Decimalni broj dijeli se s prirodnim brojem kao da nema decimalnog zareza , ali se u kolicniku naznacava decimalni zarez kad se zavrsi s dijeljenjem cijelog dijela djeljenika.
15,5:5=3,1

Decimalni broj djeli se s decimalnim brojem tako da djeljenik i djelitelj pomnozimo s dekadskom jedinicom koja ima toliko nula koliko djelitelj decimala.
7,842:2,4=78,42:24=3,2675

Decimalni broj dijeli se s dekadskom jedinicom tako da mu decimalni zarez pomicemo ulijevo za onoliko decimalnih mjesta koliko nula ima ta dekadska jedinica.
423.10:10=42.310

51,24:100=0.5124

Jos neke osobine dijeljenja brojeva

Visekratnici nekog broja a su svi brojevi oblika n*a
Visekratnici broja 5 su :5, 10, 15, 20,..

Zajednicki visekratnic i dva ili vise brojeva su brojevi koji su djeljivi s svim zadanim brojevima.

Visekratnici broja 5 su:5, 10, 15, 20,..
Visekratnici broja 4 su: 4,8, 12, 16,...
Zajednicki visekratnici su: 20, 40, ...

Najmanji zajednicki visekratnik dvaju ili vise brojeva je najmanji prirodni broj koji je djeljiv sa svim zadanim brojevima.
Najmanji zajednicki visekratnik od brojeva 4 i 5 je 20 krace pisemo V(4,5)=20
Najmanji zajednicki visekratnik dva relativna prosta broja jednak je njihovom proizvodu
V(3,2)=3*2=6

Najmanji zajednicki visekratnik dva ili vise brojeva racuna se na nacin da se zadani brojevi rastave na proste faktore, a zatim pomnoze zajednicki faktori i oni koji nisu zajednicki.
Ako zadani brojevi imaju vise jednakih faktora tada se uzimaju faktori od onog broja koji ih ima najvise.
6=2*3
12=2*3*2
18=2*3*3
V(6,12,18)=2*3*2*3=36

Ako su dva broja medjusobno djeljiva onda je manji od njih njihov najveci zajednicki djelitelj, a veci od njih njihov najmanji zajednicki visekratnik.
D(10,60)=10 V(10,60)=60

Zbir i razlika visekratnika nekog broja je visekratnik tog broja
Za broj 5 vazi
20+30=50
40-20=20
Za broj 7 vazi
21+28=49
28-21=7
Ako su dva broja djeljiva nekim brojem onda jsu njihovi zbir i razlika djeljivi tim brojem
Brojevi 39 i 27 djeljivi su sa 3
39+27=66 ... djeljiv sa 3
39-27=12 djeljiv sa 3

55 i 20 djeljivi sa 5
55+20=75... djeljiv sa 5
55-20=35 ...djeljiv sa 5
Ako je bar jedan od faktora u proizvodu djeljiv nekim brojem onda je i proizvod tih brojeva sjeljiv tim brojem.
51 djeljiv sa 3
51*2=102 ... djeljiv sa 3

---